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Étude des arcs paramétrés
Remarque Les courbes planes interviennent dans la description de nombreux
phénomènes physiques. Citons à titre d'exemple :
- la première loi de Kepler c 6 7 J affirme que les planètes décrivent une courbe
plane qui est une ellipse dont le soleil occupe un des foyers ;
- un fil pesant flexible infiniment mince homogène inextensible suspendu entre
deux points et placé dans un champ de pesanteur uniforme décrit une courbe
plane appelée chaînette ;
- les lignes de champ du champ magnétique créé par deux fils parallèles parcourus par un courant de même intensité et de même sens sont des courbes
planes, contenues dans des plans orthogonaux aux fils, appelées ovales de Cassini, voir p. 719.
o
Projection d'une courbe paramétrée sur un plan
Nous avons vu dans la partie précédente comment établir qu'une courbe paramétrée est une courbe plane. Lorsqu'une courbe de R 3 n'est pas plane, il
peut être intéressant pour son étude de la projeter sur certains plans choisis
de manière idoine. Nous allons voir dans cette partie comment obtenir une
représentation paramétrique du projeté d'une courbe paramétrée sur un plan
donné.
Soient C une courbe paramétrée de R 3 et P un plan de R 3 dont l'équation
cartésienne est ax+by+cz = d. Un vecteur normal au plan P est le vecteur n =
(a, b, c). Considérons un point 111! de la courbe paramétrée C de coordonnées
(xo,yo,zo) et notons (x 1 ,y 1 ,z 1 ) les coordonnées du projeté orthogonal P du
point M sur le plan P, voir la figure 13. Le point P est caractérisé par le
-+
fait que le vecteur M P est colinéaire au vecteur n (i.e. il existe ,\ E R tel
-+
que MP = ,\n) et par le fait que le point P appartient au plan P. Ces deux
conditions impliquent que les coordonnées de P vérifient :
{ X1 - Xo = Àa
Y1 -yo = >.b
z 1 - zo = Àc
On en déduit que le réel ).. est donné par ).. = d - (axo + by0 + cz0) et on a
{ x 1 = xo + >.a
Y1 = Yo + ).. b
z 1 = zo + >.c
(12)
<57 > JOHANNES KEPLER (1571-1630) est un astrnnome resté célèbre pour avoir découvert que
les planètes n'ont pas des orbites circulaires autour du soleil mais des orbites elliptiques
et qui a proposé les relations mathématiques (dites lois de Kepler) qui régissent leur
mouvement.
Étude des arcs paramétrés
Remarque Les courbes planes interviennent dans la description de nombreux
phénomènes physiques. Citons à titre d'exemple :
- la première loi de Kepler c 6 7 J affirme que les planètes décrivent une courbe
plane qui est une ellipse dont le soleil occupe un des foyers ;
- un fil pesant flexible infiniment mince homogène inextensible suspendu entre
deux points et placé dans un champ de pesanteur uniforme décrit une courbe
plane appelée chaînette ;
- les lignes de champ du champ magnétique créé par deux fils parallèles parcourus par un courant de même intensité et de même sens sont des courbes
planes, contenues dans des plans orthogonaux aux fils, appelées ovales de Cassini, voir p. 719.
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Projection d'une courbe paramétrée sur un plan
Nous avons vu dans la partie précédente comment établir qu'une courbe paramétrée est une courbe plane. Lorsqu'une courbe de R 3 n'est pas plane, il
peut être intéressant pour son étude de la projeter sur certains plans choisis
de manière idoine. Nous allons voir dans cette partie comment obtenir une
représentation paramétrique du projeté d'une courbe paramétrée sur un plan
donné.
Soient C une courbe paramétrée de R 3 et P un plan de R 3 dont l'équation
cartésienne est ax+by+cz = d. Un vecteur normal au plan P est le vecteur n =
(a, b, c). Considérons un point 111! de la courbe paramétrée C de coordonnées
(xo,yo,zo) et notons (x 1 ,y 1 ,z 1 ) les coordonnées du projeté orthogonal P du
point M sur le plan P, voir la figure 13. Le point P est caractérisé par le
-+
fait que le vecteur M P est colinéaire au vecteur n (i.e. il existe ,\ E R tel
-+
que MP = ,\n) et par le fait que le point P appartient au plan P. Ces deux
conditions impliquent que les coordonnées de P vérifient :
{ X1 - Xo = Àa
Y1 -yo = >.b
z 1 - zo = Àc
On en déduit que le réel ).. est donné par ).. = d - (axo + by0 + cz0) et on a
{ x 1 = xo + >.a
Y1 = Yo + ).. b
z 1 = zo + >.c
(12)
<57 > JOHANNES KEPLER (1571-1630) est un astrnnome resté célèbre pour avoir découvert que
les planètes n'ont pas des orbites circulaires autour du soleil mais des orbites elliptiques
et qui a proposé les relations mathématiques (dites lois de Kepler) qui régissent leur
mouvement.