Courbes et surfaces
781
Soient t E [ O, 7r] et u un vecteur de l'espace vectoriel Vect{ cp'(t), cp"(t)} engendré
par cp'(t) et cp"(t); il existe (>. ,µ) E IR. 2 tel que
(
-.Xv'3 sin(t) - µ )3 cos(t)
)
u = .Xcp '(t) + µcp"(t) =
-À sin(t) - µ cos(t)
.Xv'3 cos(t) - µ )3 sin(t)
� (>. co'(t) - µ 'in(t)) ( �) + (>. fil n(t) + µ o os(t) ) (-�)
= (.X cos(t) - µ sin(t)) cp'(O) + (.X sin(t) + µ cos(t) ) cp"(O).
Le vecteur u s'exprimant comme combinaison linéaire des vecteurs cp'(O) et
cp"(O), il appartient à l'espace vectoriel Vect{ cp'(O), cp"(O)}. On en déduit que
pour tout t E [0, 27f], on a Vect{cp'(t),cp"(t)} c Vect{cp'(O),cp"(O)}. L'égalité
de ces deux espaces vectoriels découle du fait qu'ils sont tous les deux de dimension 2. La courbe paramétrée C est donc une courbe plane contenue dans
le plan passant par le point de coordonnées cp(O) = ( v'3, 1, 0) et dirigé par les
vecteurs cp'(O) = (O,O,v'3) et cp"(O) = (-v'3, -1,0).
On peut noter que, pour tout t E [ O, 27r], on a
cp(t) = ( v'3 cos(t), cos(t), v'3 sin(t))
ce qui indique que la courbe paramétrée C est une ellipse
<66> dans le plan
d'équation y= x/v'3.
2. Montrons que quels que soient A = (ao, ai, a 2 ) E JR. 3 , u = (bo , bi, b 2 ) E JR. 3 et
v = (co , c 1 , c 2 ) E IR. 3 non nuls, la courbe paramétrée dont un paramétrage est
est une courbe plane. Pour t E [O, 1], le plan osculateur à la courbe paramétrée
en M = cp(t) est dirigé par les vecteurs
et cp" (t) = (��) .
2c 2
Puisque cp'(t) = u + 2t v et que cp"(t) = 2v, on a
Vt E [ O, 1] Vect{ cp' (t), cp" (t)} = Vect{ u, v} = Vect{ cp' (0), cp" (O)}.
On déduit de la proposition 11.8 que la courbe est plane.
<66) Voir p. 725 la représentation paramétrique d'une ellipse.