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Étude des arcs paramétrés
et par conséquent en considérant des valeurs de h de la forme h = �, où n E N*,
on obtient
lim n(cp(t + .! ) - n-++oo
n
Puisque la courbe C est incluse dans le plan Pc, pour tout n E N* tel que
t + � E I, on a plan Pc étant un sous-ensemble fermé de l'espace � 3 , toute limite d'une suite
d'éléments de Pc appartient < o s i à Pc; on a donc En effectuant un raisonnement analogue à partir de la relation
"(t)
_
1.
cp'(t + h) -cp '(t)
-l m
h
'
h-+O
on montre que cp"(t) appartient lui aussi à Pc. Par ailleurs, comme la courbe
paramétrée C est birégulière, les vecteurs un sous-espace vectoriel de dimension 2 dans � 3 . On en conclut que
\:/t E I Vect{cp'(t), cp"(t)} = Pc.
En désignant par to un élément de I, on obtient
\:/t E I Vect{cp'(t),cp"(t)} = Vect{cp'(to), cp"(t 0 )}
ce qui prouve l'assertion (9).
Exemples
0
1. Montrons que la courbe paramétrée C de l'espace dont un paramétrage est
est une courbe plane. Nous avons établi p. 774 que cette courbe était birégulière
et que pour tout t E [O, 211"] , on a
(-J3 sin(t))
-si n(t)
J3 cos(t)
(-J3 cos(t))
et .
-J3 sin(t)
D'après la proposition 11.8, pour montrer que la courbe C est plane, on va
montrer que
\:/t E [O, 2n]
( G s ) Voir le théorème 7.6 p . 410.
Vect{