Courbes et surfaces
779
Pour montrer que la courbe paramétrée C qui est l'ensemble { cp(t) E IR 3 ; t E J}
est contenue dans le plan osculateur P, nous allons montrer que
\:/t E I 3(.X,µ) E IR 2 cp(t) = cp(ta) + .X cp'(to) + µ cp"(ta) .
(10)
La condition (9) implique que pour tout t E I, cp'(t) E Vect{cp'(ta), cp"(ta)} ce
qui signifie qu'il existe deux réels Wt et <:rt tels que
cp' (t) = Wt cp' (to) + <:rt cp" (to).
(11)
Commençons par étudier la régularité des applications n : t E I f--7 Wt E IR et
:E : t E I r-+ <:rt E IR et montrons qu'elles sont de classe c i . Désignons par w
un vecteur orthogonal à cp"(ta) mais non orthogonal à cp'(to) (un tel vecteur
existe car le point t 0 étant birégulier, les vecteurs cp' ( ta) et cp" (ta) ne sont pas
colinéaires). Pour tout t E I, le produit scalaire de cp'(t) avec w vaut, compte
tenu de la relation (11),
cp' ( t) · w = Wt cp' (ta) · w + cr t cp" ( to) · w = Wt cp' ( to) · w.
,___,
On en déduit que
\:/t E I
= a
O(t) =
cp'(t) . w'
cp'(to) · w
ce qui implique, puisque l'application cp est de classe C 2 sur I, que l'application n est de classe c i sur I. En considérant un vecteur w qui cette fois-ci
est orthogonal à cp' ( to) mais non orthogonal à cp" (ta), on montre de la même
manière que l'application :E est de classe c i sur I.
Pour tout t E I, on a c 63> cp(t) = cp(to) + ft: cp'(s) ds et en utilisant la relation (11), on obtient
cp(t) = cp(to) + (1: f!(s) ds ) cp'(to) + (1: :E(s) ds) cp"(to).
Notons que comme les applications n et E sont de classe c i sur I, elles sont
Riemann-intégrables sur [ta, t] pour tout t E I et par conséquent les deux
intégrales À = ft: f!(s) ds et µ = ft : E (s) ds existent. La relation (10) est
établie et on peut conclure que la courbe paramétrée C est contenue dans le
plan osculateur P.
".:: Réciproquement, montrons que si une courbe plane C dont un paramétrage
est cp E C 2 (I, IR 3 ) est une courbe birégulière alors la condition (9) est satisfaite.
Par hypothèse, la courbe paramétrée C étant plane, elle appartient à un plan
de IR 3 que nous noterons Pc. Soit t E I; comme cp est dérivable en t, on a <6 •>
'(t)
l
' cp(t + h) - cp(t)
cp
= 1111
h
h-->O
( 63> Pour des fonctions de lR dans IR, cette relation a été établie dans le Cours de première
année, p. 851. Ici l'application cp' est â valeurs dans JR 3 . La quantité ft� cp'(s) ds doit être
comprise comme l'intégrale de chacune des composantes de cp 1 •
<6 4> Cette égalité définit la dérivée de cp en t, voir la définition 16.1 p. 713 du Cours de
première année.
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Pour montrer que la courbe paramétrée C qui est l'ensemble { cp(t) E IR 3 ; t E J}
est contenue dans le plan osculateur P, nous allons montrer que
\:/t E I 3(.X,µ) E IR 2 cp(t) = cp(ta) + .X cp'(to) + µ cp"(ta) .
(10)
La condition (9) implique que pour tout t E I, cp'(t) E Vect{cp'(ta), cp"(ta)} ce
qui signifie qu'il existe deux réels Wt et <:rt tels que
cp' (t) = Wt cp' (to) + <:rt cp" (to).
(11)
Commençons par étudier la régularité des applications n : t E I f--7 Wt E IR et
:E : t E I r-+ <:rt E IR et montrons qu'elles sont de classe c i . Désignons par w
un vecteur orthogonal à cp"(ta) mais non orthogonal à cp'(to) (un tel vecteur
existe car le point t 0 étant birégulier, les vecteurs cp' ( ta) et cp" (ta) ne sont pas
colinéaires). Pour tout t E I, le produit scalaire de cp'(t) avec w vaut, compte
tenu de la relation (11),
cp' ( t) · w = Wt cp' (ta) · w + cr t cp" ( to) · w = Wt cp' ( to) · w.
,___,
On en déduit que
\:/t E I
= a
O(t) =
cp'(t) . w'
cp'(to) · w
ce qui implique, puisque l'application cp est de classe C 2 sur I, que l'application n est de classe c i sur I. En considérant un vecteur w qui cette fois-ci
est orthogonal à cp' ( to) mais non orthogonal à cp" (ta), on montre de la même
manière que l'application :E est de classe c i sur I.
Pour tout t E I, on a c 63> cp(t) = cp(to) + ft: cp'(s) ds et en utilisant la relation (11), on obtient
cp(t) = cp(to) + (1: f!(s) ds ) cp'(to) + (1: :E(s) ds) cp"(to).
Notons que comme les applications n et E sont de classe c i sur I, elles sont
Riemann-intégrables sur [ta, t] pour tout t E I et par conséquent les deux
intégrales À = ft: f!(s) ds et µ = ft : E (s) ds existent. La relation (10) est
établie et on peut conclure que la courbe paramétrée C est contenue dans le
plan osculateur P.
".:: Réciproquement, montrons que si une courbe plane C dont un paramétrage
est cp E C 2 (I, IR 3 ) est une courbe birégulière alors la condition (9) est satisfaite.
Par hypothèse, la courbe paramétrée C étant plane, elle appartient à un plan
de IR 3 que nous noterons Pc. Soit t E I; comme cp est dérivable en t, on a <6 •>
'(t)
l
' cp(t + h) - cp(t)
cp
= 1111
h
h-->O
( 63> Pour des fonctions de lR dans IR, cette relation a été établie dans le Cours de première
année, p. 851. Ici l'application cp' est â valeurs dans JR 3 . La quantité ft� cp'(s) ds doit être
comprise comme l'intégrale de chacune des composantes de cp 1 •
<6 4> Cette égalité définit la dérivée de cp en t, voir la définition 16.1 p. 713 du Cours de
première année.