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Étude des arcs paramétrés
Fig. 12 Hélice circulaire tracée sur un cylindre.
Un cas particulièrement important en pratique est celui où la courbe paramétrée appartient à un plan ; on qualifie une telle courbe de courbe plane. La
proposition suivante donne une caractérisation des courbes planes birégulières
à l'aide du plan osculateur ca ii . Elle indique qu'une courbe paramétrée birégulière est plane si et seulement si le plan osculateur est le même ca 2 i en to�t point
de la courbe. La courbe est alors contenue dans ce plan osculateur.
PROPOSITION 11.8 Soit C une courbe paramétrée birég ulière de l'espace dont
un paramétrage est

seulement si
3to E I Vt E I Vect{

(9)
où Vect{ et Démonstration I:'.: Montrons que si la condition (9) est satisfaite alors la
courbe paramétrée C est contenue dans le plan osculateur (il s'agira donc d'une
courbe plane) . Comme la courbe paramétrée C est birégulière, le plan osculateur à la courbe paramétrée C en un point Mo = est l'ensemble, voir la définition 11.15,
'P= {x ElR 3 ; 3(.>.,µ) ElR 2 x= .

<5 1 l Rappelons que le plan osculateur d'une courbe paramétrée biréguliêre dont un paramétrage est cp E C 2(J, R 3 ) en Mo= cp(to) est un plan dirigé par les vecteurs cp'(to) et cp"(to )
et passant par le point Mo.
<5 2 l On commet ici un abus de langage, on devrait dire, dans un premier temps, qu'une courbe
est plane si et seulement si la direction vectorielle du plan osculateur est constante.