Courbes et surfaces
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On peut avoir recours à MAPLE pour représenter <60 J la courbe paramétrée C
ainsi que les repères locaux à cette courbe aux points de coordonnées (2, 0, 0)
et (0, 0, 2).
> fy :=t-> [cos (t)+cos (3*t) ,sin ( t)-sin (3*t) , 2*sin(2*t) ]:
> desi : =spacecurve (fy (t) ,t=O .. 2*Pi , scaling=constrained) :
> t:=O: des2 : =arrow({fy (t) },{Dn(f y,1 ,t) , Dn(fy,2,t) , Dn(fy,3,t)}) :
> t:=Pi/4 : des3 : =arrow ({fy(t) },{Dn(fy, 1,t) ,Dn(f y,2,t) , Dn(fy,4,t)}) :
> display (des1,des2 ,des3) ;
-2
La formule de Taylor-Young appliquée à l'arc paramétré cp au voisinage de
la valeur t0 du paramètre permet, comme pour les courbes paramétrées dans
le plan, de préciser l'allure de la courbe paramétrée C au voisinage du point
Mo = cp(t0) et d'effectuer une classification des points de la courbe. Nous ne
détaillons pas cet aspect.
Courbes planes dans l'espace
L'étude et la représentation d'une courbe paramétrée dans l'espace peuvent
être notablement simplifiées si cette courbe appartient à une surface connue.
Par exemple, il est beaucoup plus facile de tracer l'hélice circulaire dont un
paramétrage est
cp: t E 1R 1---t (lai cos(t) , a sin(t) , bt)
(a, b E IR*)
lorsque l'on a remarqué que cp f (t) + cp�(t) = a 2 , ce qui établit que cette courbe
paramétrée est portée par le cylindre d'axe (0, k) et de rayon a, voir la figure 12.
( 60 ) La procédure MAPLE Dn est décrite p . 760.