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Étude des arcs paramétrés
Exemples
1. Déterminons le repère local au point (2, 0, 0) de la courbe paramétrée C de
l'espace dont un paramétrage est
cp: t E [O, 27fj f--+ (cos(t) + cos(3t), sin(t) - sin(3t), 2sin(2t)).
On a (2, 0, 0) = cp(O) et
et cp 111 (0) = ( 2
°
6 ) .
-16
Le déterminant de la matrice dont les vecteurs colonnes sont cp' ( 0), cp" ( 0) et
cp"'(O) vaut -720. Puisqu'il est non nul, les trois vecteurs cp'(O), cp"(O) et cp 111 (0)
sont libres. On a donc p = 1, q = 2, r = 3.
2. Déterminons à présent le repère local au point (0, 0, 2) de cette même courbe
paramétrée C. On a (0, 0, 2) = cp(;t7r) et
Le déterminant de la matrice dont les vecteurs colonnes sont cp' ( :i:?r), cp" ( :1:7f)
et cp"' ( :1:7f) vaut
14 \f'2
ln
-2
v'2
4 v'2
2
v'2
4
v'2
0
- 8
l -2 v 2
-14J2 = 8
2
v'2
0
14
v'2 1
=0
-14J2
.
Puisque ce déterminant est nul, les trois vecteurs cp'(:i:7r), cp"(:i:7r) et cp 111 (;t7r)
sont liés. On peut facilement voir que le déterminant d'ordre 2 extrait de ce
déterminant en conservant les deux premières lignes et deux premières colonnes
vaut -32, ce qui indique que le rang de la fa. mille {cp'(:i:7r),cp"(:i:7r)} vaut 2 et
par conséquent que les vecteurs cp' ( :1:7f) et cp" ( :i:?f) forment une famille libre.
On a cp ( 4 ) (;t7r) = ( - 40\1'2, - 40\1'2, 32) et le déterminant de la matrice dont
les vecteurs colonnes sont cp'(:i:?r), cp"(:i:7r) et cp ( 4 ) (;t7r) vaut
-2 v'2 4 v'2 -40
v'2
-1 2 -5
2\1'2 4\1'2 -40\1'2 = 256 1
2 -5
0
- 8
32
0 -1 1
En remplaçant la première ligne par la première ligne à laquelle on a retranché
la seconde, puis en développant le déterminant selon cette nouvelle premi ère
ligne, on établit qu'il vaut 1536. Puisqu'il est non nul, les trois vecteurs cp'(itr),
cp"(:i:7r) et cp ( 4 ) (;t7r) sont libres On a donc p = 1 , q = 2, r = 4.