Courbes et surfaces
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On en déduit que q = 2 et que le plan osculateur à la courbe paramétré C en un
point M =
(u, v ) E � 2 1-+
-sin(t) u -cos( t) v
.J3 cos(t) u - .J3 sin(t) v
et pour équation cartésienne
J3(x -v'3cos( t)) - 3(y - cos(t)) =O.
On peut remarquer que cette équation cartésienne se réécrit .J3y - x = 0, ce
qui indique que la courbe paramétrée C admet le même plan osculateur en
chacun de ses points.
Comme pour les courbes paramétrées dans le plan, on peut définir la notion de
repère local d'une courbe paramétrée C dans l'espace en un point lvlo. L'espace
étant de dimension 3, il faut adjoindre aux deux vecteurs
pour obtenir une base de � 3 .
DÉFINITION 11.16 (Repère local d'une courbe dans l'espace)
Soient entiers
p = min{j E N* ;
1. Le repère local en un point d'une courbe paramétrée dans l'espace est formé
des deux vecteurs définissant le plan osculateur, voir la définition 11.15, et d'un
troisième vecteur qui n'appartient pas au plan osculateur. Ce troisième vecteur
n'est pas nécessairement normal au plan osculateur.
2. La famille {
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On en déduit que q = 2 et que le plan osculateur à la courbe paramétré C en un
point M =
(u, v ) E � 2 1-+
-sin(t) u -cos( t) v
.J3 cos(t) u - .J3 sin(t) v
et pour équation cartésienne
J3(x -v'3cos( t)) - 3(y - cos(t)) =O.
On peut remarquer que cette équation cartésienne se réécrit .J3y - x = 0, ce
qui indique que la courbe paramétrée C admet le même plan osculateur en
chacun de ses points.
Comme pour les courbes paramétrées dans le plan, on peut définir la notion de
repère local d'une courbe paramétrée C dans l'espace en un point lvlo. L'espace
étant de dimension 3, il faut adjoindre aux deux vecteurs
pour obtenir une base de � 3 .
DÉFINITION 11.16 (Repère local d'une courbe dans l'espace)
Soient entiers
p = min{j E N* ;
1. Le repère local en un point d'une courbe paramétrée dans l'espace est formé
des deux vecteurs définissant le plan osculateur, voir la définition 11.15, et d'un
troisième vecteur qui n'appartient pas au plan osculateur. Ce troisième vecteur
n'est pas nécessairement normal au plan osculateur.
2. La famille {