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Étude des arcs paramétrés
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2. Déterminons le plan osculateur en chacun de ses points à la courbe paramétrée C de l'espace dont un paramétrage est
Pour tout t E [O, 27r], on a
(- /3
sin(t))
-sin(t)
v'3 cos(t)
(- /3
cos(t))
et -cos( t) .
- /3
sin(t)
La courbe est régulière et p = 1 car les fonctions sinus et cosinus ne s'annulant
jamais simultanément, on a la courbe paramétrée C est une courbe birégulière, c'est-à-dire que pour tout
t E [O, 27r] les vecteurs le rang de la famille { de la matrice A E M3, 2 (IR.) formée des vecteurs colonnes ,
•
( 59 )
determmant d'ordre 2 non nul ; on a
(- /3
sin(t)
A=
-si n(t)
v'3 cos(t)
- /3
cos(t))
- cos(t)
- /3
sin(t)
et
1-sin(t)
v'3 cos(t)
- cos(t)
1 = v'3 =fa
O.
-J3 sin(t)
Une autre façon d'établir que pour tout t E [O, 27r] les vecteurs sont libres, consiste à calculer le produit vectoriel que ce vecteur n'est jamais nul ; on a
(-v'3 sin(t)) (-v'3 cos(t))

-sin(t)
/\
-cos( t)
v'3 cos(t)
-J3 sin(t)
<59> Voir la définition 8.15 p. 332 et la proposition 11.6 p. 485 du Cours de première année.