Courbes et surfaces
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En désignant par (a, b, c) les composantes du produit vectoriel des vecteurs

cartésienne du plan osculateur en N/0 est
a (x - xo) + b (y - Yo) + c (z - zo) =O.
3. Lorsque Mo = cp(to) est un point birégulier de la courbe paramétrée C,
la famille {cp'(to), courbe paramétrée C en Mo est alors le plan passant par Mo et dirigé par les
vecteurs cp' (t a ) et

o
Exemples
1. Déterminons le plan osculateur au point (2, 0, 0) à la courbe paramétrée C
de l'espace dont un paramétrage est

On a (2, 0, 0) = cp(O) et
�' (o) � ( �2) ., �" (o) � (T) .
Les deux vecteurs

plan osculateur au point (2, 0, O) admet pour représentation paramétrique
(u, v ) E IR
2 ,___. .. .., (-lOv, -2u, 4u)
et pour équation cartésienne z = -2y.
On pourr � par ailleurs vérifier que cp� (t)+cp§ (t) +cp� (t) = 4 pour tout t E [O, 27r],
ce qui indique que la courbe paramétrée C appartient à la sphère centrée de
centre (0, 0, 0) et de rayon 2.
0
t .
'
' t ( 58 ) 1
b
, t , c t
n peu avoir recours a MAPLE pour represen er a cour e parame ree e
son plan osculateur au point de coordonnées (2, 0, 0).
> fy :=t-> [cos (t)+cos (3*t) , sin(t) - sin (3*t) , 2*sin (2*t)] :
> des1 : =spacecurve (fy (t) ,t=O .. 2*Pi , scaling=constrained) :
> des2 : =plot3d (-2*y ,x=1 .. 3,y=-1 .. 1) :
> des3 : =plot3d ([2*cos (u) *sin(v) ,2*sin (u) *sin(v) ,2*cos (v)] ,
u=O .. 2*Pi ,v=O .. Pi) :
> des4 : =arrow({fy(t0) },{Dn(fy,1,t 0) ,-Dn(fy,2,t0 )}) :
# des1 : la courbe ; des2 : le plan osculat eur ; des3
la sphere ;
# des4 : les vecteurs directeurs du plan osculateur
> display (des1,des2 ,des3 ,des4) ;
( 58) La procédure MAPLE On est décrite p. 760.