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Étude des arcs paramétrés
11.3.4 Étude des arcs paramétrés dans l'espace
Une étude analogue à celle qui vient d'être menée pour les arcs paramétrés dans
le plan peut être effectuée pour les arcs paramétrés dans l'espace. En étudiant
les trois fonctions coordonnées d'un arc paramétré de IR 3 , on est en mesure
d'obtenir de nombreuses informations sur la courbe paramétrée. Une différence
importante avec ce qui a été présenté dans la partie précédente pour les courbes
paramétrées dans le plan est que la famille de deux vecteurs { cp C P) (t0), cp(q) (ta) }
n'est pas une base de JR 3 ; cette famille définit un sous-espace vectoriel de JR 3 de
dimension 2 qui nous amène à définir la notion de plan osculateur. Par ailleurs,
pour une courbe paramétrée dans l'espace, on est en général confronté à la
difficulté de dessiner l'allure de la courbe à partir de l'information donnée par
les tableaux de variation des fonctions coordonnées. En pratique, les logiciels de
visualisation graphique se révèlent souvent indispensables pour visualiser une
courbe dans l'espace. L'étude analytique de l'arc paramétré reste nécessaire
pour établir les caractéristiques de la courbe.
Plan osculateur et repère local
DÉFINITION 11.15 (Plan osculateur)
Soient cp E C00(I, JR 3 ) un arc paramétré dans l 'espace et C la courbe paramétrée qui lui est associée. Soit ta E I une valeur du paramètre tel que les
entiers
p = min{j EN* ; cp Ul (t0) -=/= O} et
q = min {j EN* ; j>p et {cp C Pl (t0), cp Ul (t0)} est libre}
soient définis. On appelle plan osculateur à la courbe paramétrée C en
Mo = cp(t0), le plan passant par Mo et dirigé par les vecteurs cp C Pl (to) et cp(q) (to .
Remarques
1. La notion de plan osculateur est une notion intrinsèque à la courbe paramétrée c; il est le même ( 5 7) pour tous les arcs paramétrés C 1 -équivalents à l ' arc
paramétré cp choisi comme représentation paramétrique de la courbe.
2. Le plan osculateur en Mo = cp(t0) à la courbe paramétrée C est, d'après la
définition 11.15, l'ensemble
P = {x E IR 3 ; 3(),, µ ) E IR 2 x = cp(to) + ,\ cp (Pl (to) + µ cp (q) (to)} .
Il admet pour représentation paramétrique
< 5 7> La preuve de ce résultat reprend les arguments utilisés pour montrer que la notion de
repère local à un arc paramétré du plan IR. 2 est une notion intrinsèque, voir la remarque
de la p. 759.