Courbes et surfaces
771
� Tra cé
Le tableau de variation permet de décrire le tracé de la courbe paramétrée C.
La valeur t = 0 du paramètre correspond à l'origine. On a un point de rebroussement de seconde espèce. Lorsque t tend vers -oo la courbe s'éloigne
de l'origine selon une branche parabolique de direction asymptotique la droite
d'équation y= x, en passant par le point de coordonnées (3, 6) correspondant à
la valeur t = -1 du paramètre. La demi-tangente au point de rebroussement situé à l'origine est dirigée par le vecteur cp" (0) = (0, 4). Lorsque t varie entre 0 et
r 2 � 0, 61, l a courbe rejoint le point 111 1 de coordonnées cp(r 2 ) � (-0, 31, 0, 20)
et en ce point la courbe possède une tangente horizontale. La courbe joint ensuite le point 111 2 de coordonnées cp(3/2) = (-27 /16, -9/16) � (-1, 69, -0, 56)
où la tangente est verticale, en coupant l'axe des abscisses en cp(l) = (-1, 0).
Lorsque t varie entre 3 /2 et r1 , la courbe va du point lv h au point lvh de
coordonnées cp(r1 ) � (-1,59, -0, 52). La tangente à la courbe en !11 3 est horizontale. Lorsque t varie de r1 à +oo, la courbe repasse par l'origine pour la
valeur t = 2 du paramètre et admet à l'origine une tangente de pente 1/2.
Elle s'éloigne ensuite de l'origine selon une branche parabolique de direction
asymptotique la droite d'équation y= x en passant par le point de coordonnées
(27, 18) pour la valeur t = 3 du paramètre.
La courbe paramétrée C est représentée à la figure 11.
-2
- 1
M 2
t
� �� t
2
1,5
t--> -OO
dir. asy ptotique
t--> +oo
2
Fig. 11 Tracé de la courbe paramétrée autour de l'origine.
Exercice 11.6 Étudier la courbe de Lissajous C dont un paramétrage
(56)
•
est cp: t E lR 1--+ (2 sm(t), cos (3t/2)).
(56)
.
.
•
Cette courbe est une courbe de Lissajous définie p. 715 correspondant aux valeurs a = 2,
b = 1, T/ = 3/2 et
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� Tra cé
Le tableau de variation permet de décrire le tracé de la courbe paramétrée C.
La valeur t = 0 du paramètre correspond à l'origine. On a un point de rebroussement de seconde espèce. Lorsque t tend vers -oo la courbe s'éloigne
de l'origine selon une branche parabolique de direction asymptotique la droite
d'équation y= x, en passant par le point de coordonnées (3, 6) correspondant à
la valeur t = -1 du paramètre. La demi-tangente au point de rebroussement situé à l'origine est dirigée par le vecteur cp" (0) = (0, 4). Lorsque t varie entre 0 et
r 2 � 0, 61, l a courbe rejoint le point 111 1 de coordonnées cp(r 2 ) � (-0, 31, 0, 20)
et en ce point la courbe possède une tangente horizontale. La courbe joint ensuite le point 111 2 de coordonnées cp(3/2) = (-27 /16, -9/16) � (-1, 69, -0, 56)
où la tangente est verticale, en coupant l'axe des abscisses en cp(l) = (-1, 0).
Lorsque t varie entre 3 /2 et r1 , la courbe va du point lv h au point lvh de
coordonnées cp(r1 ) � (-1,59, -0, 52). La tangente à la courbe en !11 3 est horizontale. Lorsque t varie de r1 à +oo, la courbe repasse par l'origine pour la
valeur t = 2 du paramètre et admet à l'origine une tangente de pente 1/2.
Elle s'éloigne ensuite de l'origine selon une branche parabolique de direction
asymptotique la droite d'équation y= x en passant par le point de coordonnées
(27, 18) pour la valeur t = 3 du paramètre.
La courbe paramétrée C est représentée à la figure 11.
-2
- 1
M 2
t
� �� t
2
1,5
t--> -OO
dir. asy ptotique
t--> +oo
2
Fig. 11 Tracé de la courbe paramétrée autour de l'origine.
Exercice 11.6 Étudier la courbe de Lissajous C dont un paramétrage
(56)
•
est cp: t E lR 1--+ (2 sm(t), cos (3t/2)).
(56)
.
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Cette courbe est une courbe de Lissajous définie p. 715 correspondant aux valeurs a = 2,
b = 1, T/ = 3/2 et