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Étude des arcs paramétrés
En faisant la différence de la première équation multipliée au préalable par
(t 1 - 1) avec la seconde équation multipliée au préalable par t 1 , on obtient que
le couple (t 1 , t 2 ) solution du système vérifie l'équation
Si t 2 f:. 0 et si tz f:. 2, cette équation se simplifie et est équivalente à
(t 1 - l)t 2 = t i (t 2 - 1), c'est-à-dire à l i = t 2 . On en déduit que les valeurs du
paramètre appartenant à�\ {O, 2} correspondent toutes à des points simples.
Comme cp(O) = cp(2) = (0, 0), on en déduit aussi que l'origine est l'unique point
multiple ; il s'agit d'un point double.
!'.": Étude de l'allure de la courbe au voisinage de l 'origine
Pour la valeur t i = 0 du paramètre, nous avons déjà établi que l'origine est un
point singulier (point de rebroussement de seconde espèce) et que la tangente
en ce point est dirigée par cp" (0) = (0, 4). Pour la valeur tz = 2 du paramètre,
l'origine est un point régulier dont la tangente est dirigée par cp'(2) = (8, 4). Il
est important de noter que l'on a cp" (2) = (24, 16) ce qui signifie que l'on a un
point birégulier au voisinage duquel la concavité de la courbe est dirigée dans
le sens du vecteur (24, 16).
!'.": Étude des points d 'arr€ts ou branches infinies
Intéressons-nous au comportement de la courbe lorsque le paramètre tend vers
les bords de son ensemble de définition. Ici, l'ensemble de l'étude étant �. on
cherche à connaître le comportement de la courbe lorsque t tend vers +oo
et -oo. Comme
lim x(t) = lim y(t) = +oo et lim x(t) = lim y(t) = +oo,
t->-oo
t->-oo
t->+oo
t->+oo
la courbe possède une branche infinie lorsque t tend vers +oo ou -oo. De plus,
y(t)/x(t) = 1 - 1/t donc
lim
y(t) = lim
y(t) = 1
t->-oo x(t) t ->+oo x(t)
et y(t) - x(t) = -t 2 (t - 2) donc
lim y(t) - x(t) = lim y(t) - x(t) = -oo.
t ---> -oo
t ---> +oo
On en déduit que lorsque t tend vers +oo ou -oo, la courbe possède une branche
parabolique de direction asymptotique la droite y= x.