Courbes et surfaces
769
� Ta bleau de variation
Les dérivées des deux fonctions coordonnées x et y en t E � sont
x'(t) = 2t 2 (2t - 3) et y'(t) = t(4t 2 - 9t + 4).
On a x'(t) = 0 si t = 0 ou t= 3/2 et y'(t) = 0 si t = 0 ou si t est racine du
polynôme 4X 2 - 9X + 4. Le polynôme 4X 2 - 9X + 4 admet deux racines réelles
qui sont
et
9- Vl7
8
Le tableau de variation de cp est le suivant :
t - OO
0
r 2
�
r1
+oo
x'(t)
- 0
-
0
+
+oo --...
+oo
x(t)
0 --...
--x(r 2 ) --...
--x(r1 )
27
- lR
y'(t)
- 0 +
0
-
0
+
+oo
y(r 2 )
+oo
y(t)
""
---. ..
9
/
- 16
/
0
---. ..
y(r1 )
!'.'.'. Points singuliers
D'après la définition 11.11, les points singuliers de la courbe sont les points
Mo = cp(to) tels que cp'(to) = O. Le tableau de variation indique que la seule
valeur du paramètre to pour lesquels x'(to) = y'(to) = 0 est to = O. Il existe
donc un unique point singulier qui a pour coordonnées cp(O) = (0, 0). Pour
déterminer l'allure de la courbe Cau voisinage de ce point, il faut calculer les
entiers p et q définissant le repère local en ce point. Puisque
cp" (O) = (�) , cp 111 (0) = ( =��) et que · det( cp" (0), cp"' (0 ) ) = 48 =j:. 0,
on a p = 2 et q = 3. L'origine est donc un point de rebroussement de seconde
espèce.
!'.'.'. Points multiples
D'après la définition 11.10, un point M E � 2 est un point multiple s'il existe
deux valeurs différentes t i et t 2 du paramètre telles que M = cp(t1 ) = cp(t 2 ).
Pour obtenir tous les points multiples de la courbe, déterminons les valeurs
différentes t i et t 2 du paramètre telles que cp(t1 ) = cp(t 2 ), i.e. résolvons le
système (formé de deux équations non linéaires) suivant :
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� Ta bleau de variation
Les dérivées des deux fonctions coordonnées x et y en t E � sont
x'(t) = 2t 2 (2t - 3) et y'(t) = t(4t 2 - 9t + 4).
On a x'(t) = 0 si t = 0 ou t= 3/2 et y'(t) = 0 si t = 0 ou si t est racine du
polynôme 4X 2 - 9X + 4. Le polynôme 4X 2 - 9X + 4 admet deux racines réelles
qui sont
et
9- Vl7
8
Le tableau de variation de cp est le suivant :
t - OO
0
r 2
�
r1
+oo
x'(t)
- 0
-
0
+
+oo --...
+oo
x(t)
0 --...
--x(r 2 ) --...
--x(r1 )
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- lR
y'(t)
- 0 +
0
-
0
+
+oo
y(r 2 )
+oo
y(t)
""
---. ..
9
/
- 16
/
0
---. ..
y(r1 )
!'.'.'. Points singuliers
D'après la définition 11.11, les points singuliers de la courbe sont les points
Mo = cp(to) tels que cp'(to) = O. Le tableau de variation indique que la seule
valeur du paramètre to pour lesquels x'(to) = y'(to) = 0 est to = O. Il existe
donc un unique point singulier qui a pour coordonnées cp(O) = (0, 0). Pour
déterminer l'allure de la courbe Cau voisinage de ce point, il faut calculer les
entiers p et q définissant le repère local en ce point. Puisque
cp" (O) = (�) , cp 111 (0) = ( =��) et que · det( cp" (0), cp"' (0 ) ) = 48 =j:. 0,
on a p = 2 et q = 3. L'origine est donc un point de rebroussement de seconde
espèce.
!'.'.'. Points multiples
D'après la définition 11.10, un point M E � 2 est un point multiple s'il existe
deux valeurs différentes t i et t 2 du paramètre telles que M = cp(t1 ) = cp(t 2 ).
Pour obtenir tous les points multiples de la courbe, déterminons les valeurs
différentes t i et t 2 du paramètre telles que cp(t1 ) = cp(t 2 ), i.e. résolvons le
système (formé de deux équations non linéaires) suivant :