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Étude des arcs paramétrés
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Remarque Si les fonctions coordonnées x et y tendent vers des limites finies x0
et Yo lorsque le paramètre t tend vers les extrémités de l'intervalle I alors le
point (xo, Yo) est appelé une extrémité ou un point d'arrêt de la courbe.
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Plan d'étude d'une courbe paramétrée dans le plan
L'étude de la courbe paramétrée dans le plan associée à l'arc paramétré

œuvre a été détaillée dans les paragraphes précédents.
- Réduire l'intervalle d'étude en étudiant les propriétés de périodicité et de
parité de

- Étudier les deux fonctions coordonnées de l'application

tableau de variation.
- Rechercher et étudier les points caractéristiques de la courbe : les points
singuliers, les points multiples, etc. et évaluer les entiers pet q pour connaître
l'allure de la courbe paramétrée C au voisinage de ces points.
- Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée C.
- Tracer la courbe paramétrée C en faisant apparaître le renseignements obtenus précédemment.
Exemple Étudions la courbe paramétrée dans le plan associée à l'arc paramétré
On note x: t E :IR .--+ t 3 (t - 2) et y: t E :IR .--+ t 2 (t - 2)(t - 1) les deux fonctions
coordonnées de cette application.
!'.". Ensemble de définition, réduction de l 'intervalle d'étude
L'ensemble de définition de

sont polynomiales. L'arc paramétré

ou périodicité n'est décelable : on ne peut donc pas réduire l'intervalle d'étude.