767
3
o.... .,_� �� �� �� �� �
0
2. Considérons l'arc paramétré
lTll *
( 2 2 5 )
2t + t, 4t + t2
.
Comme llcp(t)ll = J(2t 2 + t)2 + (4t2 + 5/t2)2 admet pour limite +oo lorsque t
tend vers 0 ou lorsque t tend vers +oo, la courbe paramétrée C associée à cp
admet deux branches infinies. Posons x(t) = 2t 2 +t et y(t) = 4t 2 + 5/t 2 . Puisque
y(t)
x(t)
4t 4 + 5
5
2t 4 + t 3 'O t 3 on a
. y(t)
hm -
()
= +oo,
t--+O+ X t
et la courbe paramétrée C admet lorsque t tend vers 0 pour branche infinie une
branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. Puisque
lim
y(t) = 2
t--++oo x( t)
et
lim y(t) - 2x(t) = lim � - 2t = -oo,
t--++oo
t--++oo t
la courbe paramétrée C admet lorsque t tend vers +oo pour branche infinie
une branche parabolique de direction la droite d'équation y= 2x mais n'admet
pas de droite asymptote.
On peut avoir recours à MAPLE pour visualiser la situation.
> phi :=t-> [2*t-2+t , 4*t-2+5/t-2] :
> desl: =plot ( [op (phi (t) ) ,t=O .. 10] ,view= [O .. 30 ,0 .. 50]):
> des2 : =plot (2*x , x=O .. 30)':
> display (des1,des2) ;