Courbes et surfaces
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Détaillons les différents types de branches infinies possibles en to E I ( t0 est
soit l'une des extrémités de l'intervalle I, soit ±oo). Notons (x(t), y(t)) les
coordonnées du point M = cp(t) de la courbe paramétrée C.
1. Si lim y(t) = ±oo et lim x(t) = a alors la courbe paramétrée C possède
t->to
t->to
pour branche infinie une droite asymptote verticale d'équation x =a .
2 . Si lim y(t) = /3 et lim x(t) = ±oo alors la courbe paramétrée C possède
t->to
t->to
pour branche infinie une droite asymptote horizontale d'équation y= /3.
3. Si lim y(t) = ±oo et lim x(t) = ±oo alors on s'intéresse, si elle existe, à la
t->to
t->to
l . "t
l"
y(t)
im1 e a = 1m -
( )
.
t->to X t
- Si a = ±oo alors la courbe paramétrée C possède pour branche infinie
une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées, voir la figure 9.
- Si a = 0 alors la courbe paramétrée C possède pour branche infinie une
branche parabolique de direction l'axe des abscisses, voir la figure 9.
y
y
c
X
Fig. 9 Branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (à
gauche) et branche parabolique de direction l'axe des abscisses
(à droite).
t ---+ t0
X
- Si a E IR* alors on s'intéresse, si elle existe, à la limite lim y(t) - ax(t).
t->to
- Si cette limite vaut ±oo alors la courbe paramétrée C possède pour
branche infinie une branche parabolique de direction asymptotique la
droite d'équation y = ax, voir la figure 10.
- Si cette limite existe et vaut b E lR alors la courbe paramétrée C possède pour branche infinie une droite asymptote d'équation
y = ax + b. De plus,
- si lim y(t) - (ax(t)+ b) > 0, la courbe est au-dessus de son asympt->to
tote ;
- si lim y(t) - (ax(t) + b) < 0, la courbe est au-dessous de son
t->to
asymptote.