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Étude des arcs paramétrés
PROPOSITION 11.7 (Concavité d'une courbe paramétrée)
Soient

qui lui est associée. Si Mo = courbe paramétrée C alors au voisinage de lvlo la courbe C se trouve dans le
demi-plan limité par la tangente en Mo et situi55 > du coté de Démonstration Comme le point Jv l0 = 2
et le repère local de la courbe paramétrée C en Mo est (Mo; la figure 8. D'après la relation (8) p. 762, les coordonnées (X(t), Y(t)) d'un point
M(t) = X(t) = t - ta + Ot0 ((t - to) 2 ) et
(t - to) 2
2
Y(t) =
2 !
+ Ot0 ((t - to) ) .
Lorsque t est assez proche de ta, Y(t), qui est la coordonnée du point M(t)
relative au vecteur demi-plan limité par la droite passant par Mo et de vecteur directeur situé du coté de D
M = Mo = Fig. 8 En un point birégulier, une courbe paramétrée tourne
sa concavité du coté de Branches infinies d'une courbe paramétrée plane
DÉFINITION 11.14 (Branche infinie)
Soient

lui est associée. On dit que la courbe paramétrée C admet une branche infinie
lorsque t tend vers to où ta E 1 si
lim ll t->to
< 55 > Voir la figure 8.