Courbes et surfaces
p impair
q pair
Point ordinaire
q impair
Point d'inflexion
Exemples
p pair
cp ( P ) (t)
M = cp(t)
Point de rebroussement
de seconde espèce
cp ( q ) (t)
Point de rebroussement
de première espèce
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1. Considérons la cardioïde étudiée p. 759 dont un paramétrage est
cp: t E [-7r,7r] - ((l + cos(t))cos(t), (1 +cos(t)) sin(t)) . Le point (0, 0) est
un point de rebroussement de première espèce (on a vu que p = 2 et q = 3).
Le point (0, 1) est un point ordinaire de cette cardioïde (on a vu que p = 1
et q = 2).
2. Le point (0, 0) est un point de rebroussement de première espèce de la quartique piriforme dont un paramétrage est cp: t E [0, 7r] - (cos 2 (t), cos 3 (t) sin(t)) ,
voir p. 757. On a en effet cp' ( � ) = (0, 0), cp" ( � ) = (2, 0) et cp" ' ( Î ) = (0, -6)
donc p = 2 et q = 3 car det(cp"( Î ), cp'"( Î )) = -6 :j:. O.
Exercice 11.5 Soient cp E C 2 (I, JR. 2 ) un arc paramétré du plan et
Mo = cp(t 0 ) où t 0 E I un point régulier de la courbe paramétrée C associé
à cp. On suppose que 111 ! 0 est un point d'inflexion de la courbe.
1-a) Justifier que le système {cp'(t 0 ),cp"(t 0 )} est lié.
b) En déduire que to vérifie cp� ( to) cp� ( to) - cp� ( to) cp� ( to) = 0 où cp1 et cp 2
désignent les deux fonctions coordonnées de cp.
2 - En utilisant la propriété établie à la question précédente, déterminer
parmi les points réguliers quels sont les points d'inflexion de la quartique
piriforme dont un paramétrage est cp: t E [O, 7r] - (cos 2 (t), cos 3 (t) sin(t)).