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Étude des arcs paramétrés
la formule de Taylor prend la forme :
Les coordonnées (X(t), Y(t)) d'un point M(t) =
Comme le terme L.:r:�+l À j ( t j�o); est négligeable <54 l devant ( t -;1 °)P lorsque t
est au voisinage de t0 , la courbe paramétrée C, au voisinage du point
lvf0 =
((t- to)P (t - to)q)
1'
1
p.
q .
où J désigne un voisinage de t0 .
L'arc paramétré (j5 est 000-équivalent à l'arc paramétré 'l/J : s E K 1-+ (sP ' sq)
où K désigne un voisinage de 0 dans R L'intérêt de considérer l'arc paramétré 'l/J
plutôt que (j5 est que son étude est plus facile que celle de l'arc paramétré (/5.
En effet, en désignant par X et Y les coordonnées du point 'l/J(t) dans le repère
local (
Y= tq et
- si p est impair alors t = X 1 1 P et y = xq/p ; la courbe c est - dans le repère
local en ll!fo et au voisinage de .Mo - le graphe de la fonction x 1-+ xqfp .
- si p est pair alors la relation X = tP est équivalente à t = X 1 f P ou à
t = -X 1 1 P ; la courbe C est - dans le repère local en 1110 et au voisinage
de Mo - la réunion des graphes des deux fonctions x 1-+ xqfp et x 1-+ (-x) QI P.
Ainsi, selon la parité des entiers pet q, on peut connaître l'allure de la courbe
paramétrée au voisinage de 1110 dans le repère local de la courbe en ce point. Le
tableau suivant indique les différentes allures possibles ainsi que la terminologie
employée.
<54 l Au sens de la comparaison locale des fonctions, voir la définition 15 .1 p. 682 du Cours d e
première année.
Étude des arcs paramétrés
la formule de Taylor prend la forme :
Les coordonnées (X(t), Y(t)) d'un point M(t) =
Comme le terme L.:r:�+l À j ( t j�o); est négligeable <54 l devant ( t -;1 °)P lorsque t
est au voisinage de t0 , la courbe paramétrée C, au voisinage du point
lvf0 =
((t- to)P (t - to)q)
1'
1
p.
q .
où J désigne un voisinage de t0 .
L'arc paramétré (j5 est 000-équivalent à l'arc paramétré 'l/J : s E K 1-+ (sP ' sq)
où K désigne un voisinage de 0 dans R L'intérêt de considérer l'arc paramétré 'l/J
plutôt que (j5 est que son étude est plus facile que celle de l'arc paramétré (/5.
En effet, en désignant par X et Y les coordonnées du point 'l/J(t) dans le repère
local (
- si p est impair alors t = X 1 1 P et y = xq/p ; la courbe c est - dans le repère
local en ll!fo et au voisinage de .Mo - le graphe de la fonction x 1-+ xqfp .
- si p est pair alors la relation X = tP est équivalente à t = X 1 f P ou à
t = -X 1 1 P ; la courbe C est - dans le repère local en 1110 et au voisinage
de Mo - la réunion des graphes des deux fonctions x 1-+ xqfp et x 1-+ (-x) QI P.
Ainsi, selon la parité des entiers pet q, on peut connaître l'allure de la courbe
paramétrée au voisinage de 1110 dans le repère local de la courbe en ce point. Le
tableau suivant indique les différentes allures possibles ainsi que la terminologie
employée.
<54 l Au sens de la comparaison locale des fonctions, voir la définition 15 .1 p. 682 du Cours d e
première année.