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Étude des arcs paramétrés
Avec les notations de la définition 11.13, on a p = 2. Le point Mo = (0, 0) est
donc un point singulier et la tangente à la courbe en klo est la droite passant
par ce point et dirigée par le vecteur de composantes ( -1, 0). Pour obtenir
la valeur de l'entier q, déterminons si les vecteurs cp 11 (7r) et cp 111 (7r) forment un
système libre ou non. Pour cela cs 2 > , calculons le déterminant det( cp" ( 7r), cp 111 ( 7r)).
On a
det( cp" ( 7r), cp'" ( n)) = 1 �
1
� 3 1 = 3 .
Comme ce déterminant est non nul, les vecteurs cp"(n) et cp 111 (7r) forment un
système libre, donc on a q = 3. Le repère local de la courbe paramétrée C au
point Mo = (0, 0) est donc donné par (Mo ; cp" (n), cp 111 (7r)).
2. Intéressons-nous maintenant au point Mo = cp(�n) = (0, 1). Les dérivées
successives de cp en � sont :
On a donc p = 1 et q = 2 et le point Mo = (0, 1) est un point birégulier. Le
repère local de la courbe paramétrée Cau point (0, 1) est (Mo ; cp' ( �n ), cp" ( � n) ).
On peut avec MAPLE représenter la courbe paramétrée C ainsi que ses repères
locaux aux points (0, 0) et (0, 1 ).
>p hi := t-> [(1+cos (t) ) *cos (t) ,(1+cos (t) ) *sin(t)] :
> Dn := proc (f ,n,tO)
descr ipt ion "calcul la dérivée n-ieme de la fonction f en tO" ;
local dnf ;
dnf :=diff (f (t) ,t$n) ;
eva+ C subs (t=tO ,dnf) );
end proc :
> desl :=plot ([op (phi (t) ) ,t=-Pi .. Pi] ,scaling=constrained) :
> tO :=Pi/2 : des2 : =arrow ({phi (t0) },{Dn (phi ,1,t0) , Dn (phi ,2,tO) }) :
> tO :=Pi : des3 : =arrow ({phi (t0) },{Dn (phi ,2,t0) , Dn (phi ,3,tO)}) :
> display (des1,des2 ,des3) ;
<5 2 > Voir le Cours de première année p. 465.