Courbes et surfaces
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DÉFINITION 11.13 (Repère local d'une courbe dans le plan)
Soient cp E C00(I, JR 2 ) un arc paramétré du plan et c la courbe paramétrée qui
lui est associée. Soit t0 E I une valeur du paramètre tel que les entiers
p = min{j E N* ; cp ( j ) (to) =1- O} et
q = min {j EN* ; j > p et {cp(P l (t0),cp Ul (t0)} est libre}
soient définis. On appelle repère local au point Mo = cp(to ) de la courbe
paramétrée C le repère d 'origine Mo dont les vecteurs de la base sont cp(Pl (to)
et cp(q) (to).
Remarques
1. On montre ( 5o > que la notion de repère local d'une courbe paramétrée est
une notion intrinsèque : le repère ne dépend pas du paramétrage C 1 -équivalent
choisi.
2. On remarquera que d'après la définition 11.12, le premier vecteur de base
du repère local est le vecteur directeur de la tangente à la courbe paramétrée
au point considéré.
3. Si Mo = cp(t0) est un point birégulier de la courbe paramétrée C dont un
paramétrage est cp alors d'après la définition 11.11 on a cp'(to) =1- 0 et la famille
{cp'(t0),cp" (t0)} est libre ; on a donc dans ce cas p = 1 et q = 2. Ainsi, le
repère local à la courbe paramétrée C en un point birégulier Mo = cp(to) est
(Mo; cp'(to), cp" (to)).
o
1 Le repère local d'une courbe paramétrée en un point n'est en général pas
un repère orthonormé direct.
Exemples
1. Déterminons le repère local en Mo = cp(11') = (0, 0) à la courbe cardioïde
,
( 5 1)
dont un parametrage est
cp: t E [-11', 11'] 1-+ ((1 + cos(t)) cos(t), (1 + cos(t)) sin(t)) .
Les dérivées successives . de cp en 11' sont :
cp' (11') = (�) , cp"(11') = ( �1) et cp111 (11') = ( � 3 ) .
( 5 o ) Ce résultat se démontre en utilisant un raisonnement très semblable à celui utilisé pour
démontrer la proposition 11.4 ou la proposition 11.6.
( 5 • > Le nom de cette courbe paramétrée est liée à sa forme et provient du terme grec « kardia »
qui signifie « cœur ».