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Étude des arcs paramétrés
Démonstration Considérons deux paramétrages

'l/J E e00(J, !R 2 ) de la courbe paramétrée C qui sont e 1 -équivalents. Il existe
un et-difféomorphisme (} de I sur J tel que

courbe paramétrée C est décrit par Mo = i=t
où fi. r désigne une application s'exprimant uniquement à l'aide de l'application (} et de ses dérivées. En particulier puisque (}(ta) = so, on a
r- t
(7)
i=t
Soit p = min {j E N* ; 'l/J( j ) (to) -:j:. 0 } . La tangente à la courbe paramétrée C
au point Mo = 'l/J(so) est donc la droite passant par Mo et dirigée par le vecteur
'!jJ C Pl (s0). La relation (7) indique que
'efr E {1, . . . ,p - 1} cp ( rl (to) = 0 et Comme (} est un difféomorphisme, sa dérivée ne s'annule pas ; on a (J'(to) -:j:. 0
et par conséquent et 1f;(P l (s0) sont colinéaires : la tangente à la courbe paramétrée C au point
Mo = vecteur cp(P) (t0). En d'autres termes, quel que soit le paramétrage de la courbe
paramétrée C considéré, on obtient pour tangente à la courbe paramétrée C
au point Mo la même droite.
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Remarques
1. Si Mo = paramétrage est

vaut 1. La tangente T à la courbe en Mo est la droite passant par Mo et dirigée
par le vecteur cp' ( to) ; on a
T= {x EIR 2 ; :Ja EIR x = 2. Considérons une courbe paramétrée C qui coïncide avec le graphe d'une
fonction f de lR dans lR qui est dérivable ; un paramétrage de la courbe C
est cp : t E lR � ( t, f ( t)). Tous les points de la courbe C sont réguliers car
: f'(to) est
la pente de la tangente au point M = (to, f(to)) et la remarque précédente
indique que l'équation de la tangente est y= f(to) + f'(to) (x - ta).
< 46> On pourra se reporter à la démonstration de la proposition 11.4 pour la forme explicit e
de cette relation dans le cas où r = 1 et où r = 2.
< 47> Voir le Cours de première année p. 714.