Courbes et surfaces
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Fig. 7 Interprétation graphique de la notion de droite tangente.
où € est une fonction de lR dans IR 2 de limite nulle en t0 . Puisque toutes les
dérivées d'ordre inférieur à p sont nulles en t0 , on a
cp(t) = cp(to) +
(t -
�
o)P cp < Pl (to) + (t - to)P é(t).
p.
On en déduit que
----+
MoM
cp(t) - cp(to)
(t - to)P cp < Pl (t0) + p! E (t)
u(t) =
11.iVfoMll
= llcp(t) - cp(to)ll
= i(t - to)PI ll cp(Pl(to) + p! é(t)il '
.
.
.
cp(P) (to)
81 p est pair, on a t �111"o
u(t) = llcp(Pl(to))ll
et si p est impair, on a
.
cp(P) (to)
��� u(t) = - llcp(Pl(to))ll '
Dans tous. les cas, on peut en conclure que cp(P) (t0), que nous avons défini comme
étant vecteur directeur de la tangente en !Vlo à la courbe paramétrée C, est un
vecteur directeur de la droite qui correspond à la limite des droites passant par
les points Mo et M = cp( t) lorsque t tend vers t0 .
La tangente à une courbe paramétrée est une notion intrinsèque : elle ne dépend
pas du paramétrage de la courbe choisi comme l'indique la proposition suivante.
PROPOSITION 11.6 Soient C une courbe paramétrée dans le plan et Mo un
point de C. La tangente à la courbe paramétrée C au point Mo est indépendante du choix du paramétrage C 1 -équivalent de c considéré.