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Étude des arcs paramétrés
.. 7
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2
-2
;
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2
Fig. 6 Construction de la courbe paramétrée cp([-?r, 311"]) à partir de cp([O, 7r]).
Tangente à une courbe paramétrée dans le plan
3
•
2
(41)
'
S01t cp E C00(J, lR ) un arc paramétré et to E I une valeur du parametre tel
que l'une au moins des dérivées successives de cp en to ne soit pas nulle. On
note alors p l'entier défini par <42>
p = min {J E N* ; cp U) ( t0) =fa 0}.
DÉFINITION 11.12 (Tangente à une courbe paramétrée)
Soient cp E C00(J, IR 2 ) un arc paramétré, c la courbe paramétrée qui lui est
associée et Mo = cp(to), où to E J, un point de C.
On appelle tangente à la courbe paramétrée C au point �Mo, la droite passant
par Mo et dirigée par le vecteur cp < P) (to) où p = min {J E N* ; cp < j ) (to) =fa 0}.
La droite tangente à la courbe paramétrée C au point Mo = cp(to) peut être
vue <43> comme la droite qui correspond à la limite des droites passant par
les points Mo et M = cp(t) lorsque t tend vers to, voir la figure 7. Un vecteur
directeur unitaire à cette droite tangente est alors la limite lorsque t tend vers to
du vecteur directeur unitaire <44 l u(t) = MoM / ll MoM ll de la droite (MoM).
Établissons cette affirmation. La formule de Taylor pour l'application cp à
l'ordre p au voisinage de t0 E I s'écrit <45> :
p (t t ) k
cp(t) = L - k !
0 cp( k) (to) + (t - t0)P c(t)
k =O
<41 l On suppose que l'application cp est de classe C00 afin de pouvoir la dériver autant que
nécessaire par la suite ; toutefois, l'étude qui va être menée ici peut s'effectuer dès que
l'on est en mesure de définir les entiers pet q introduits ultérieurement.
<42> On suppose par la suite qu'un tel entier existe toujours. On remarquera tout de même
que ceci n'est pas toujours le cas. Par exemple en considérant la courbe paramétrée par
cp: t E IR >-t (e - t2
, e - t 2 ) et la valeur to = 0 on a pour tout j E J\I* l'égalité cpUl(to) = O.
<43 l Ou même définie.
<44 l Il convient de considérer un vecteur unitaire à ces droites car le vecteur directeur de la
droite (MoM) a une norme qui tend vers 0 quand t tend vers to .
<45> L'application cp est une application de 1 à valeurs dans IR 2 • Les deux applications composantes cp1 et cp 2 sont deux applications de 1 c IR dans IR pour lesquels on peut utiliser
la formule de Taylor établie dans le Cours de première année, p. 778.
Étude des arcs paramétrés
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Fig. 6 Construction de la courbe paramétrée cp([-?r, 311"]) à partir de cp([O, 7r]).
Tangente à une courbe paramétrée dans le plan
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S01t cp E C00(J, lR ) un arc paramétré et to E I une valeur du parametre tel
que l'une au moins des dérivées successives de cp en to ne soit pas nulle. On
note alors p l'entier défini par <42>
p = min {J E N* ; cp U) ( t0) =fa 0}.
DÉFINITION 11.12 (Tangente à une courbe paramétrée)
Soient cp E C00(J, IR 2 ) un arc paramétré, c la courbe paramétrée qui lui est
associée et Mo = cp(to), où to E J, un point de C.
On appelle tangente à la courbe paramétrée C au point �Mo, la droite passant
par Mo et dirigée par le vecteur cp < P) (to) où p = min {J E N* ; cp < j ) (to) =fa 0}.
La droite tangente à la courbe paramétrée C au point Mo = cp(to) peut être
vue <43> comme la droite qui correspond à la limite des droites passant par
les points Mo et M = cp(t) lorsque t tend vers to, voir la figure 7. Un vecteur
directeur unitaire à cette droite tangente est alors la limite lorsque t tend vers to
du vecteur directeur unitaire <44 l u(t) = MoM / ll MoM ll de la droite (MoM).
Établissons cette affirmation. La formule de Taylor pour l'application cp à
l'ordre p au voisinage de t0 E I s'écrit <45> :
p (t t ) k
cp(t) = L - k !
0 cp( k) (to) + (t - t0)P c(t)
k =O
<41 l On suppose que l'application cp est de classe C00 afin de pouvoir la dériver autant que
nécessaire par la suite ; toutefois, l'étude qui va être menée ici peut s'effectuer dès que
l'on est en mesure de définir les entiers pet q introduits ultérieurement.
<42> On suppose par la suite qu'un tel entier existe toujours. On remarquera tout de même
que ceci n'est pas toujours le cas. Par exemple en considérant la courbe paramétrée par
cp: t E IR >-t (e - t2
, e - t 2 ) et la valeur to = 0 on a pour tout j E J\I* l'égalité cpUl(to) = O.
<43 l Ou même définie.
<44 l Il convient de considérer un vecteur unitaire à ces droites car le vecteur directeur de la
droite (MoM) a une norme qui tend vers 0 quand t tend vers to .
<45> L'application cp est une application de 1 à valeurs dans IR 2 • Les deux applications composantes cp1 et cp 2 sont deux applications de 1 c IR dans IR pour lesquels on peut utiliser
la formule de Taylor établie dans le Cours de première année, p. 778.