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Courbes et surfaces
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Fig. 5 Construction de la courbe paramétrée cp(JR) à partir de
cp([O, �rr)).
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2. Intéressons-nous à l'arc paramétré cp: t E [-7r,37r] � (:Ît + sin(t), sin(t))Notons x(t) = :Ît + sin(t), y(t) = sin(t) et C la courbe paramétrée qui est
l'image de I = [-7r, 37r] par cp.
Considérons l'application () : t E [-7r, 7r] � t + 27r E [7r, 37r] ; en posant
J1 = [-7r, 7rj , on a I = [-7r, 7r] U [7r, 37r] = J 1 U B(J1 ) et pour tout t E [-7r, 7r] ,
(B(t)) = ( x(t + 27r) )
=
(Î + :Î _
t + sin(t) )
=
(Î + x (t) )
= s ( (t))
cp
y(t + 27r)
sm(t)
y(t)
cp
où s : (x, y) E R 2 � ( !7r + x, y) E R 2 • On en déduit que la courbe paramétrée
C = cp(I) peut être déduite de la courbe C 1 = cp(J1 ) par la translation de
vecteur u = ( !7r, 0).
Considérons à présent l'application () : t E [-7r, 7r] � -t E [-7r, 7r] ; en posant
J 2 = [O, 7rj , on a J1 = [-7r, O] U [O, rr] = J 2 U B(J 2 ) et pour tout t E [O, rr] ,
(B(t)) = ( x(-t) )
= ( - :i t � sin(t) )
=
( -x(t) )
= s ( (t))
cp
y(-t)
- sm(t)
-y(t)
cp
où s : (x, y) E R 2 � (-x, -y) E R 2
_
On en déduit que la courbe paramétrée
C 1 = cp(J 1 ) peut être déduite de la courbe C 2 = cp(h) par la symétrie axiale
dont le centre est l'origine du repère.
En résumé, on peut se contenter d'étudier l'arc paramétré cp sur [O, rr] ; la courbe
paramétrée correspondant à cp([-rr, 3rr]) s'obtient à partir de la courbe cp((O, rr])
en effectuant successivement une symétrie axiale dont le centre est l'origine du
repère puis translation de vecteur u = ( !7r, 0) comme cela est illustré sur la
figure 6.