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Étude des arcs paramétrés
- s : (x, y) E JR. 2 t--t (x + u1, y + u2 ) E JR. 2 avec ( ui, u2) E JR. 2 et dans ce
cas la courbe C" est l'image de la courbe C' par la translation de vecteur
u
= (u1, u2).
Il arrive assez souvent que la courbe paramétrée étudiée possède plusieurs symétries et que l'on soit amené à utiliser plusieurs fois consécutivement cette
stratégie de réduction de l'intervalle d'étude.
Exemples
1. Considérons l'arc paramétré

21!'-périodique et que la seconde fonction coordonnée

61!'-périodique de sorte que
\:/t E lR. = On s'intéresse donc à l'arc paramétré

= cos(t), y(t)
= sin(!t) et C la courbe
paramétrée qui est l'image de I par = [-37r, 31!'], on a
\:/t El
( - t E I et x(-t)
= x(t) et y(-t) = -y(t))
ce qui signifie que la courbe paramétrée C admet l'axe des abscisses comme axe
de symétrie. On a ici () : t E I t--t -t E 1 et s : (x, y) E IR 2 t--t (x, -y) E IR 2 et en
restreignant l'étude de l'arc paramétré

= [O, 37r], on pourra
construire C à partir de C1
= par rapport à l'axe des abscisses.
Considérons à présent l'application () : t E [O, 31!'] t--t 37r - t E [ü, 31!'] ; on a pour
tout t E [O, 37r],
() t
= ( x(37r -t) ) = ( cos( 'l!' -t) ) = ( -cos(t) ) = s t
y(37r - t)
sin(7r - V
sina)
( où s : (x, y) E IR 2 t--t (-x, y) E IR 2
•
De plus, en posant J2
=
[O, �7r], on a
J1
= [O, �'Il'] U [�7r, 37r]
= h U B(J2), donc la courbe C1
= construite à partir de la courbe C2
= rapport à l'axe des ordonnées.
En résumé, on peut se contenter d'étudier l'arc paramétré

courbe paramétrée correspondant à C
= = courbe C2
= par rapport à l'axe des ordonnées puis une symétrie orthogonale par rappor t à
l'axe des abscisses comme cela est illustré sur la figure 5.