Courbes et surfaces
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Soit cp E C 0 (I, JR 2 ) un arc paramétré et C la courbe paramétrée du plan qui lui
est associée. On cherche à déterminer un intervalle J inclus dans I (de longueur
la plus petite possible) tel que l'on puisse déduire les propriétés de la courbe
paramétrée C = cp(I) et sa construction de celle de C' = cp( J).
Supposons qu'il existe une application () de lR dans IR, une application s de JR 2
dans IR 2 et un intervalle J inclus dans I tel que
- l=JU()(J),
- Vt E I cp( O(t)) = s(cp(t)) ;
on a dans ce cas
cp(I) = cp(J) u s(cp(J)),
autrement dit, la courbe paramétrée C = cp(I) est la réunion de la courbe
paramétrée C' = cp(J) et d'une courbe paramétrée C" qui se déduit de C' à
l'aide de l'application s.
On rencontre souvent pour la fonction () l'une des formes suivantes :
- I = [-a, a] (où a E JR+) et () : t E I H -t E I et dans ce cas on peut
prendre J = [O, a] ;
- I = [a, b] (où (a, b) E IR 2 , a < b) et () : t E I H a + b - t E I et dans ce cas
on peut prendre J = [a, Ha + b)J;
- I = JR+ et () : t E I H 1/t E I et dans ce cas on peut prendre J =JO, 1].
La fonction s est quant à elle fréquemment de l'une des formes suivantes :
- s: (x, y) E JR 2 H (x, y) E IR 2 et dans ce cas C" = C' ;
s: (x, y) E IR 2 1--+ (-x, y) E IR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image de la
courbe C' par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des ordonnées ;
s: (x, y) E JR 2 H (x, -y) E IR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image de la
courbe C' par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses ;
s : (x, y) E JR 2 H (-x, -y) E JR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image de
la courbe C' par la symétrie centrale de centre l'origine 0 du repère ;
s : (x, y) E IR 2 1--+ (y, x) E IR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image de la
courbe C' par la symétrie orthogonale par rapport la droite y = x (première
bissectrice) ;
s : (x, y) E JR 2 H ( -y, -x) E IR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image
de la courbe C' par la symétrie orthogonale par rapport la droite y = - x
(deuxième bissectrice) ;
s: (x, y) E IR 2 i--+ (-y, x) E IR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image de la
courbe C' par la rotation de centre l'origine 0 du repère et d'angle c4 o > �;
s: (x, y) E JR 2 H (y, -x) E JR 2 et dans ce cas la courbe C" est l'image de la
courbe C' par la rotation de centre l'origine 0 du repère et d'angle c4 o > -� ;
<• o ) Mesuré dans le sens direct ou trigonométrique (sens opposé au sens de parcours des
aiguilles d'une montre).