750
Étude des arcs paramétrés
Notons f = Bo e; comme e est un C 1 -difféomorphisme de I sur Jet que B est un
C 1 -difféomorphisme de J sur I, l'application f est une application de classe C1
de I dans J. D'une part, comme f est une application continue de l'intervalle I
dans lui-même, elle admet <39l un point fixe c E J. D'autre part, l'application
f est dérivable sur I et la relation (6), qui se réécrit cp(t) = cp(f(t)) pour tout
t E J, fournit, en dérivant les deux membres de l'égalité, la relation
\:/t E 1
cp1 ( t) = cp1 (f ( t)) !' ( t).
En t = c, on obtient cp' (c) = cp'(c) f'(c). Puisque l'arc paramétré cp est régulier,
on a cp'(c) =/:- 0 et par conséquent f'(c) = 1. Cela engendre une contradiction.
En effet, comme e: t�E I 1--4 -t E J est une application strictement décroissante
et que l'application e est strictement croissante, l'application f est strictement
décroissante sur I, donc à dérivée négative ou nulle en c.
On en conclut que les arcs paramétrés cp et 'ljJ ne sont pas 0 1 -équivalents et par
conséquent que 'Y est orientable.
0
Remarque Les propositions 11.3 et 11.5 indiquent que tous les arcs paramétrés simples ou réguliers sont orientables. Autrement dit, la plupart des arcs
paramétrés « usuels » sont orientables. Néanmoins, l'arc paramétré par
t E [- 1, 1] f--+ (cos(2rrt 2 ), sin(2rrt 2 ))
n'est pas un arc simple (puisque cp(- 1) = cp(l)), ni un arc régulier (puisque
cp'(O) = 0). La courbe paramétrée associée à cet arc paramétré est un cercle
parcouru une fois dans le sens trigonométrique puis une fois dans le sens inverse.
<>
11.3.3 Étude des arcs paramétrés dans le plan
Intéressons-nous à présent plus spécifiquement à l'étude des arcs paramétrés
dans le plan. Les paragraphes précédents fournissent un certain nombre de
notions permettant d'étudier les arcs paramétrés que nous allons compléter en
introduisant des notions qui sont, elles, spécifiques au cas des arcs paramétrés
dans le plan.
En cinématique, les courbes paramétrées dans le plan représentent la trajectoire
d'un mobile ; le paramètre t désigne alors le temps et le vecteur cp(t) la position
du mobile dans un repère donné.
Symétries d'une courbe paramétrée dans le plan
L'étude d'une courbe paramétrée dans le plan peut être notablement simplifiée
si celle-ci possède des symétries, c'est-à-dire s'il existe des isométries du plan
qui laissent la courbe globalement invariante.
<39> Voir l'exercice 13 p. 600 du Cours de première année.
Étude des arcs paramétrés
Notons f = Bo e; comme e est un C 1 -difféomorphisme de I sur Jet que B est un
C 1 -difféomorphisme de J sur I, l'application f est une application de classe C1
de I dans J. D'une part, comme f est une application continue de l'intervalle I
dans lui-même, elle admet <39l un point fixe c E J. D'autre part, l'application
f est dérivable sur I et la relation (6), qui se réécrit cp(t) = cp(f(t)) pour tout
t E J, fournit, en dérivant les deux membres de l'égalité, la relation
\:/t E 1
cp1 ( t) = cp1 (f ( t)) !' ( t).
En t = c, on obtient cp' (c) = cp'(c) f'(c). Puisque l'arc paramétré cp est régulier,
on a cp'(c) =/:- 0 et par conséquent f'(c) = 1. Cela engendre une contradiction.
En effet, comme e: t�E I 1--4 -t E J est une application strictement décroissante
et que l'application e est strictement croissante, l'application f est strictement
décroissante sur I, donc à dérivée négative ou nulle en c.
On en conclut que les arcs paramétrés cp et 'ljJ ne sont pas 0 1 -équivalents et par
conséquent que 'Y
0
Remarque Les propositions 11.3 et 11.5 indiquent que tous les arcs paramétrés simples ou réguliers sont orientables. Autrement dit, la plupart des arcs
paramétrés « usuels » sont orientables. Néanmoins, l'arc paramétré par
t E [- 1, 1] f--+ (cos(2rrt 2 ), sin(2rrt 2 ))
n'est pas un arc simple (puisque cp(- 1) = cp(l)), ni un arc régulier (puisque
cp'(O) = 0). La courbe paramétrée associée à cet arc paramétré est un cercle
parcouru une fois dans le sens trigonométrique puis une fois dans le sens inverse.
<>
11.3.3 Étude des arcs paramétrés dans le plan
Intéressons-nous à présent plus spécifiquement à l'étude des arcs paramétrés
dans le plan. Les paragraphes précédents fournissent un certain nombre de
notions permettant d'étudier les arcs paramétrés que nous allons compléter en
introduisant des notions qui sont, elles, spécifiques au cas des arcs paramétrés
dans le plan.
En cinématique, les courbes paramétrées dans le plan représentent la trajectoire
d'un mobile ; le paramètre t désigne alors le temps et le vecteur cp(t) la position
du mobile dans un repère donné.
Symétries d'une courbe paramétrée dans le plan
L'étude d'une courbe paramétrée dans le plan peut être notablement simplifiée
si celle-ci possède des symétries, c'est-à-dire s'il existe des isométries du plan
qui laissent la courbe globalement invariante.
<39> Voir l'exercice 13 p. 600 du Cours de première année.