Courbes et surfaces
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0,8
2. Considérons la courbe paramétrée du plan dont un paramétrage est
cp: t E IR ...- - (t 3 (t - 2), t 2 (t - 2)(t - 1)) .
L'origine est un point double de la courbe car (0, 0) = cp(O) = cp(2). On a pour
tout t E IR,
cp'(t) = (2t 2 (2t - 1), t(4t 2 - 9t + 4)) .
Puisque cp'(O) = 0, l'origine est un point singulier de la courbe paramétrée
pour le paramétrage cp et puisque cp' (2) = (24, 4) =/. 0 l'origine est également
un point régulier pour le paramétrage cp.
PROPOSITION 11.5 To ut arc paramétré régulier est orientable.
Démonstration Le raisonnement est très semblable à celui ayant permis de
démontrer la proposition 11.3. Considérons un arc régulier cp E c i (J,IR n ) et
notons r que l'application '!/; : s E J f-t cp(-s) où J = { -t E IR ; t E I} est un arc
paramétré c i �équivalent à l'arc cp puisque cp = '!/; o B avec B : t E I f-t -t E Jet
l'application B est très clairement un c i -difféomorphisme.
D'après la définition 11.9, montrer que l'arc paramétré cp est orientable revient à montrer que dans l'ensemble / cp il existe exactement <38> deux classes
d'équivalence pour la relation no : « être a i -équivalent ». Pour cela, nous
allons montrer que les deux arcs paramétrés cp et '!/;, qui appartiennent tous
deux à / cp , ne sont pas a i -équivalents ; on pourra conclure qu'ils appartiennent
à deux classes d'équivalence distinctes pour la relation no dans f'P > ce qui
établira l'existence de deux classes d'équivalence.
Raisonnons par l'absurde et supposons que les arcs paramétrés cp et '1/!_ sont
a i -équivalents ; d'après la définition 11.8, il existe un difféomorphisme B de J
sur I, strictement croissant_ tel que '!/; = cpo O . Comme par ailleurs on a cp = 'lj;oB,
on en déduit que cp = cp o Bo B, c'est-à-dire que
Vt E I cp(t) = cp( O (B(t))).
(6)
(JB) Rappelons que d'après le lemme 11.1 nous savons qu'il existe au plus deux classes d'équivalence.
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2. Considérons la courbe paramétrée du plan dont un paramétrage est
cp: t E IR ...- - (t 3 (t - 2), t 2 (t - 2)(t - 1)) .
L'origine est un point double de la courbe car (0, 0) = cp(O) = cp(2). On a pour
tout t E IR,
cp'(t) = (2t 2 (2t - 1), t(4t 2 - 9t + 4)) .
Puisque cp'(O) = 0, l'origine est un point singulier de la courbe paramétrée
pour le paramétrage cp et puisque cp' (2) = (24, 4) =/. 0 l'origine est également
un point régulier pour le paramétrage cp.
PROPOSITION 11.5 To ut arc paramétré régulier est orientable.
Démonstration Le raisonnement est très semblable à celui ayant permis de
démontrer la proposition 11.3. Considérons un arc régulier cp E c i (J,IR n ) et
notons r que l'application '!/; : s E J f-t cp(-s) où J = { -t E IR ; t E I} est un arc
paramétré c i �équivalent à l'arc cp puisque cp = '!/; o B avec B : t E I f-t -t E Jet
l'application B est très clairement un c i -difféomorphisme.
D'après la définition 11.9, montrer que l'arc paramétré cp est orientable revient à montrer que dans l'ensemble / cp il existe exactement <38> deux classes
d'équivalence pour la relation no : « être a i -équivalent ». Pour cela, nous
allons montrer que les deux arcs paramétrés cp et '!/;, qui appartiennent tous
deux à / cp , ne sont pas a i -équivalents ; on pourra conclure qu'ils appartiennent
à deux classes d'équivalence distinctes pour la relation no dans f'P > ce qui
établira l'existence de deux classes d'équivalence.
Raisonnons par l'absurde et supposons que les arcs paramétrés cp et '1/!_ sont
a i -équivalents ; d'après la définition 11.8, il existe un difféomorphisme B de J
sur I, strictement croissant_ tel que '!/; = cpo O . Comme par ailleurs on a cp = 'lj;oB,
on en déduit que cp = cp o Bo B, c'est-à-dire que
Vt E I cp(t) = cp( O (B(t))).
(6)
(JB) Rappelons que d'après le lemme 11.1 nous savons qu'il existe au plus deux classes d'équivalence.