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Étude des arcs paramétrés
Pour tout t E [O, rr], on a
( cos 3 (t) sin(t)) ' = -3 sin 2 (t) cos 2 (t) + cos 4 (t) = cos 2 (t) ( - 3 sin 2 (t) + cos 2 (t))
= cos 2 (t) ( - 3 + 4 cos 2 (t) ) .
La dérivée de cp est donc l'application
cp' : t E [O, rr] f--- --+ ( - sin(2t), cos 2 (t)(3 + 4 cos 2 (t))) ;
elle ne s'annule que pour t = rr /2. La quartique piriforme possède donc un
unique point singulier qui est le point Mo = cp(rr/2) = (0, 0) . . Tous les autres
points de cette courbe sont réguliers.
Déterminons à présent les points biréguliers de la quartique piriforme. Pour
tout t E [O, rr] , on a
( cos 3 (t) sin(t)) " = 6cos(t) sin(t) - 16cos 3 (t) sin(t) = sin(2t) (3 - 8cos 2 (t))
et la dérivée seconde de cp est
cp" : t E [ü, rr] f--- --+ ( - 2cos(2t), sin(2t) (3 - 8 cos 2 (t))) .
On en déduit que le déterminant det(cp'(t), cp"(t)) vaut
cp � (t)cp � (t) - cp � (t)cp � (t) = -2cos 2 (t) (8cos 4 (t) - 12cos 2 (t) + 3) .
Ce déterminant est nul si t = n /2 ou si cos 2 ( t) est racine du polynôme
8X 2 - 12X + 3. Ce polynôme admet deux racines réelles qui sont >.1 = 3 -/'3 et
>.2 = 3 +/3 . Seule ).1 appartient à [O, 1] (on a >.2 > 1). Les valeurs de t E [O, n]
pour lesquelles cos 2 (t) = ).1 (i.e. cos(t) = .JXl ou cos(t) = -ffi) sont
t = arccos ( �) et t = arccos (-�) = n - arccos ( �) .
Tous les points de la quartique piriforme sont donc biréguliers excepté les trois
points Mo = cp(t) où
{7f ( / 3-/3) ( / 3-/3)}
t E 2, n - arccos
2
, arccos
2
.
On peut utiliser MAPLE pour représenter la quartique piriforme et les trois
points qui ne sont pas biréguliers.
> phi :=t-> [cos (t) -2 ,cos (t) -3*sin(t)] :
> lambda1 :=(3-sqrt (3) )/4:
> J:={Pi/2 ,arccos ( sqrt (lambda1) ) ,Pi -arccos ( sqrt ( lambda1) )}:
> des1 :=plot ([op (phi (t) ) ,t=O .. Pi] ,scaling=constrained) :
> des2 : =plot ([seq( [op (phi (s) )] ,s=J) ] ,style=point , syrnbol=circle) :
> display (des1 ,des2) ;