Courbes et surfaces
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Notons À= aB'(to) + (JB"(to) et µ= (3 (B'(t 0 )) 2 . Puisque () est un difféomorphisme, sa dérivée ne s'annule pas et par conséquent l'un au moins des deux
réels a ou (3 est non nul. La relation (5) permet donc d'affirmer que les deux
vecteurs 'lf;'(s 0 ) et 'lf;"(so) sont liés, autrement dit que le point Mo n'est pas
birégulier pour 'If;.
On a ainsi montré qu'un point birégulier pour un arc paramétré est également
un point birégulier pour tous les arcs paramétrés qui lui sont C00-équivalents,
ce qui établit l'équivalence énoncée dans la proposition.
0
Remarques
1. Puisque d'après la proposition 11.4 la notion de point régulier (resp. de point
birégulier) est invariante par changement de paramétrage C 1 -équivalent (resp.
C 2 -équivalent), on dit qu'une courbe paramétrée est régulière (resp. birégulière)
si et seulement si il existe un paramétrage cp de C tel que tous les points de C
sont réguliers (resp. biréguliers) pour
vecteurs cp'(to) et cp" (to) sont liés. Dans le cas d'une courbe paramétrée dans le
plan JR 2 , les deux vecteurs cp'(to) et cp"(t 0 ) de JR 2 sont liés si et seulement si <37>
le déterminant det(cp'(to), cp"(to)) est nul. On peut donc déterminer les points
biréguliers pour un paramétrage cp d'une courbe paramétrée de classe C 2 en
déterminant les valeurs du paramètre t pour lequel det(cp'(t), cp"(t)) # O.
o
Les deux arcs paramétrés 'If; : t E (-1, 1] � (cos(27rt 2 ), sin(27rt 2 )) et
cp : t E [O, 27r] � (cos(t), sin(t)) sont des paramétrages du cercle de centre
(0, 0) et de rayon 1. Le point (1, 0) est régulier pour cp mais singulier pour '!jJ .
Une telle singularité est qualifiée de cinématique car elle est liée à la façon
dont la courbe est paramétrée et non à l'allure de la courbe elle-même. On
a établi au cours de l'exercice 11.1 que ces deux arcs paramétrés n'étaient
pas C 1 -équivalents.
Par ailleurs, un point d'une courbe paramétrée C peut être à la fois régulier
et singulier pour un même paramétrage cp. En effet, si l'arc paramétré
Mo = cp(t i ) = cp(t 2 ) avec t 1 # t 2 peut être régulier pour la valeur t 1 et
singulier pour la valeur t 2 ; une telle situation se produit dans l'exemple 2
ci-après.
Exemples
1. Déterminons les points singuliers de la quartique piriforme qui est la courbe
paramétrée du plan JR 2 dont un paramétrage est
cp: t E [O>rr] f--- -+ (cos 2 (t), cos 3 (t) sin(t)) E JR 2 .
( 37) Voir le Cours de première année p. 465.
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Notons À= aB'(to) + (JB"(to) et µ= (3 (B'(t 0 )) 2 . Puisque () est un difféomorphisme, sa dérivée ne s'annule pas et par conséquent l'un au moins des deux
réels a ou (3 est non nul. La relation (5) permet donc d'affirmer que les deux
vecteurs 'lf;'(s 0 ) et 'lf;"(so) sont liés, autrement dit que le point Mo n'est pas
birégulier pour 'If;.
On a ainsi montré qu'un point birégulier pour un arc paramétré est également
un point birégulier pour tous les arcs paramétrés qui lui sont C00-équivalents,
ce qui établit l'équivalence énoncée dans la proposition.
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Remarques
1. Puisque d'après la proposition 11.4 la notion de point régulier (resp. de point
birégulier) est invariante par changement de paramétrage C 1 -équivalent (resp.
C 2 -équivalent), on dit qu'une courbe paramétrée est régulière (resp. birégulière)
si et seulement si il existe un paramétrage cp de C tel que tous les points de C
sont réguliers (resp. biréguliers) pour
vecteurs cp'(to) et cp" (to) sont liés. Dans le cas d'une courbe paramétrée dans le
plan JR 2 , les deux vecteurs cp'(to) et cp"(t 0 ) de JR 2 sont liés si et seulement si <37>
le déterminant det(cp'(to), cp"(to)) est nul. On peut donc déterminer les points
biréguliers pour un paramétrage cp d'une courbe paramétrée de classe C 2 en
déterminant les valeurs du paramètre t pour lequel det(cp'(t), cp"(t)) # O.
o
Les deux arcs paramétrés 'If; : t E (-1, 1] � (cos(27rt 2 ), sin(27rt 2 )) et
cp : t E [O, 27r] � (cos(t), sin(t)) sont des paramétrages du cercle de centre
(0, 0) et de rayon 1. Le point (1, 0) est régulier pour cp mais singulier pour '!jJ .
Une telle singularité est qualifiée de cinématique car elle est liée à la façon
dont la courbe est paramétrée et non à l'allure de la courbe elle-même. On
a établi au cours de l'exercice 11.1 que ces deux arcs paramétrés n'étaient
pas C 1 -équivalents.
Par ailleurs, un point d'une courbe paramétrée C peut être à la fois régulier
et singulier pour un même paramétrage cp. En effet, si l'arc paramétré
Mo = cp(t i ) = cp(t 2 ) avec t 1 # t 2 peut être régulier pour la valeur t 1 et
singulier pour la valeur t 2 ; une telle situation se produit dans l'exemple 2
ci-après.
Exemples
1. Déterminons les points singuliers de la quartique piriforme qui est la courbe
paramétrée du plan JR 2 dont un paramétrage est
cp: t E [O>rr] f--- -+ (cos 2 (t), cos 3 (t) sin(t)) E JR 2 .
( 37) Voir le Cours de première année p. 465.