746
Étude des arcs paramétrés
PROPOSITION 11.4 Soient cp et 'ljJ deux arcs paramétrés de classe c i (resp.
de classe C 2 ) qui sont c i -équivalents (resp. C 2 -équivalents) et c la courbe
paramétrée qui leur est associée.
Un point Mo E C est régulier (resp . birégulier} pour le paramétrage cp si et
seulement si il est régulier (resp. birégulier) pour le paramétrage 'l/J.
Démonstration 12: Considérons deux arcs paramétrés cp E c i (I, !R n ) et
'ljJ E ci(J,!R n ) qui sont c i -équivalents. D'après la définition 11.7, il existe un
C 1 -difféomorphisme () de I sur J tel que cp = 'ljJ o O. Tout point Mo de la courbe
paramétrée C associée à cp et à 'ljJ s'écrit Mo = cp(to) avec ta E I et Mo = 'l/J(s0)
avec sa = O(to) E J.
En dérivant la relation cp = 'ljJ o 0, on obtient en ta E I
cp' (to) = 'l/J' (O(to)) B' (ta).
(3)
On a 'l/J'(O(to)) = 'l/J'(so) et puisque () est un difféomorphisme, sa dérivée ne
s'annule pas ; la relation (3) fournit donc l'équivalence
cp' (to) = 0 � 'l/J'(so) = O.
On en déduit que le point Mo est régulier pour le paramétrage cp si et seulement
si. il est régulier pour le paramétrage 'l/J.
12: Considérons à présent deux arcs paramétrés cp E C 2 (I' !R n ) et 'ljJ E C 2 ( J, !R n ) '
qui sont C 2 -équivalents. Il existe donc un C 2 -difféomorphisme () de I sur J tel
que cp = 'ljJ o () et tout point Mo de la courbe paramétrée C associée à cp et à 'ljJ
s'écrit Mo = cp(to) avec ta E I et Mo = 'ljJ(so) avec so = O(to) E J. Montrons
que si le point Mo est birégulier pour l'arc paramétré 'ljJ alors il est également
birêgulier pour l'arc paramétré cp. Pour se faire, utilisons un raisonnement par
contraposée <3 6) et montrons que si le point !Ylo n'est pas birégulier pour cp alors
il n'est pas non plus birégulier pour 'l/J.
Supposer que le point l\!fo n'est pas birégulier pour cp revient à supposer que
les vecteurs cp'(to) et cp" (t0) sont liés, c'est-à-dire qu'il existe deux réels a et /3
non tous les deux nuls tels que
a cp' (ta) + /3 cp" (ta) = 0.
(4)
D'une part, d'après la relation (3) on a cp'(to) = 'l/J'(so) B'(to) et d'autre part en
dérivant deux fois la relation cp = 'ljJ o 0, on obtient en to E I
cp"(to) = 'l/J"(O(to)) (O' (to)) 2 + 'l/J' (B(to)) B"(to)
autrement dit : cp" (to) = 'l/J" (so) (O'(to)) 2 + 'l/J'(so) B" (to). En substituant ces
expressions de cp' (ta) et de cp" (ta) en fonction de 'l/J' (sa) et 'l/J" (sa) dans la
relation (4), on obtient :
(a O' (to) + /3 ()"(ta)) 'l/J' (so) + /3 (()' (to)) 2 'l/J" (so) = O.
(5)
<36) Voir le Cours de première année p. 17.
Étude des arcs paramétrés
PROPOSITION 11.4 Soient cp et 'ljJ deux arcs paramétrés de classe c i (resp.
de classe C 2 ) qui sont c i -équivalents (resp. C 2 -équivalents) et c la courbe
paramétrée qui leur est associée.
Un point Mo E C est régulier (resp . birégulier} pour le paramétrage cp si et
seulement si il est régulier (resp. birégulier) pour le paramétrage 'l/J.
Démonstration 12: Considérons deux arcs paramétrés cp E c i (I, !R n ) et
'ljJ E ci(J,!R n ) qui sont c i -équivalents. D'après la définition 11.7, il existe un
C 1 -difféomorphisme () de I sur J tel que cp = 'ljJ o O. Tout point Mo de la courbe
paramétrée C associée à cp et à 'ljJ s'écrit Mo = cp(to) avec ta E I et Mo = 'l/J(s0)
avec sa = O(to) E J.
En dérivant la relation cp = 'ljJ o 0, on obtient en ta E I
cp' (to) = 'l/J' (O(to)) B' (ta).
(3)
On a 'l/J'(O(to)) = 'l/J'(so) et puisque () est un difféomorphisme, sa dérivée ne
s'annule pas ; la relation (3) fournit donc l'équivalence
cp' (to) = 0 � 'l/J'(so) = O.
On en déduit que le point Mo est régulier pour le paramétrage cp si et seulement
si. il est régulier pour le paramétrage 'l/J.
12: Considérons à présent deux arcs paramétrés cp E C 2 (I' !R n ) et 'ljJ E C 2 ( J, !R n ) '
qui sont C 2 -équivalents. Il existe donc un C 2 -difféomorphisme () de I sur J tel
que cp = 'ljJ o () et tout point Mo de la courbe paramétrée C associée à cp et à 'ljJ
s'écrit Mo = cp(to) avec ta E I et Mo = 'ljJ(so) avec so = O(to) E J. Montrons
que si le point Mo est birégulier pour l'arc paramétré 'ljJ alors il est également
birêgulier pour l'arc paramétré cp. Pour se faire, utilisons un raisonnement par
contraposée <3 6) et montrons que si le point !Ylo n'est pas birégulier pour cp alors
il n'est pas non plus birégulier pour 'l/J.
Supposer que le point l\!fo n'est pas birégulier pour cp revient à supposer que
les vecteurs cp'(to) et cp" (t0) sont liés, c'est-à-dire qu'il existe deux réels a et /3
non tous les deux nuls tels que
a cp' (ta) + /3 cp" (ta) = 0.
(4)
D'une part, d'après la relation (3) on a cp'(to) = 'l/J'(so) B'(to) et d'autre part en
dérivant deux fois la relation cp = 'ljJ o 0, on obtient en to E I
cp"(to) = 'l/J"(O(to)) (O' (to)) 2 + 'l/J' (B(to)) B"(to)
autrement dit : cp" (to) = 'l/J" (so) (O'(to)) 2 + 'l/J'(so) B" (to). En substituant ces
expressions de cp' (ta) et de cp" (ta) en fonction de 'l/J' (sa) et 'l/J" (sa) dans la
relation (4), on obtient :
(a O' (to) + /3 ()"(ta)) 'l/J' (so) + /3 (()' (to)) 2 'l/J" (so) = O.
(5)
<36) Voir le Cours de première année p. 17.