Courbes et surfaces
745
Ils sont périodiques de période 2n. On pourra vérifier qu'en restriction à l'intervalle [O, 2n[, ces arcs paramétrés sont injectifs et par conséquent qu'ils ne
s'auto-intersectent pas.
La commande spacecurve du logiciel MAPLE permet de tracer des courbes
paramétrées de IR 3 . Ainsi la première des trois courbes définies ci-dessus se
visualise en effectuant les commandes suivantes :
> with (plots) :
> spacecurve ([cos (3*t) ,sin (2*t) , 2*sin (7*t) ], t=O .. 2*Pi) ;
Les trois nœuds de Lissajous sont représentés sur la figure 4.
Fig. 4 Trois nœuds de Lissajous.
Régularité des arcs paramétrés
DÉFINITION 11.11 (Point régulier, point singulier)
Soit cp E C 1 (I,.!R n ) un arc paramétré et C la courbe paramétrée qui lui est
associée.
)( On dit qu 'un point Mo de C tel que Mo = cp( to) avec to E I est un point
régulier de C pour le paramétrage cp si cp'(to) =fa O.
)( Un point qui n'est pas régulier est appelé point singulier < 3 5 > .
)(Dans le cas où cp E C 2 (J, !R n ), on dit que le point Mo de C est birégulier
pour le paramétrage cp si les deux vecteurs cp' ( to) et cp" ( to) sont linéairement
indépendants.
Les notions de point régulier, de point birégulier et de point singulier pour une
courbe paramétrée ne dépendent pas du paramétrage considéré. On dit que ces
notions sont « intrinsèques à la courbe ». Plus précisément, on a la proposition
suivante.
< 3 5 > p r' 1
d
'
·
·
1
1
1
d
'
'
l'
C
ano1s, e terme e pomt stationnaire est emp oyé à a p ace e pomt smgu 1er. e
vocabulaire est utilisé lorsque le paramètre t représente la variable temps. Physiquement ,
un point stationnaire est un point dont la vitesse (dérivée de la position rp(t)) est nulle.