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Étude des arcs paramétrés
Exemples
1. L'origine est un point double de l'arc cp: t E [O, 47r[1-+ (2sin(t), cos(�t)) dont
l'image est une courbe de Lissajous dans IR 2 • En effet, le système
{ sin(t) = 0
cos( �t) = 0
admet pour solutions dans [O, 47r] les réels 7r et 37r. On pourra noter que l'application t E lR 1-+ (2 sin(t), cos(�t)) est périodique, de période 47r, et on pourrait
établir en résolvant le système
{ sin(t) = sin(s)
cos(�t) = cos( � s)
pour (s, t) E [O, 47r[ 2 que l'arc paramétré cp possède sept points doubles.
2. L'arc paramétré cp: t E lR 1-+ (sin(t), sin( v'2 t)) représente lui aussi une courbe
de Lissajous dans IR 2 . L'arc paramétré cp n'est pas périodique (cela est lié au
fait que v'2 n'est pas un nombre rationnel). Montrons que l'origine est un point
simple de cet arc paramétré en résolvant le système
{ sin(t) = 0
sin( v'2 t) = 0
La première équation implique que t = kK avec k E Z et la seconde que
t = k' 7r / v'2 avec k' E Z. On doit donc avoir k = k' / v'2 pour que t soit solution des deux équations simultanément. Comme v'2 est un nombre irrationnel,
k' / v'2 est lui aussi un nombre irrationnel si k' =/= 0 et ne peut donc être égal à k
qui est un entier relatif. La seule solution du système est t = 0 et correspond à
k = k' = o.
Par contre, cette courbe paramétrée admet des points multiples. On peut par
exemple vérifier que cp(7r/(2 v'2 ) - 7r) = cp(7r/(2 v'2 ) + 7r).
3. Les courbes de Lissajous dans IR 3 sont les trajectoires d'un point dans l'espace
dont les composantes ont un mouvement sinusoïdal. Un paramétrage d'une
courbe de Lissajous est
cp: t E lR i--- --+ (bsi �1(�
(
2 ef>) ) ,
csin(µt + '1/J)
(Z)
où a , b, c, ry, µ, ef> et '1/J sont des réels. Lorsque la courbe ne s'« auto-intersecte »
pas (c'est-à-dire lorsqu'elle n'a pas de point multiple sur un intervalle de période), on dit qu'elle forme un « nœud » dans l'espace, appelé nœud de Lissajous. Les arcs paramétrés suivants �ont des nœuds de Lissajous < 34> :
t E lR i--- --+ ( ���g:j ) , t E lR i--- --+ ( ���f !!j ) et t E lR i--- --+ ( ���g:j ) ·
2sin(7t)
2sin(17t)
2sin(22t)
< 34> On vérifiera qu'ils sont C00-équivalents à un arc paramétré de la forme (2).
Étude des arcs paramétrés
Exemples
1. L'origine est un point double de l'arc cp: t E [O, 47r[1-+ (2sin(t), cos(�t)) dont
l'image est une courbe de Lissajous dans IR 2 • En effet, le système
{ sin(t) = 0
cos( �t) = 0
admet pour solutions dans [O, 47r] les réels 7r et 37r. On pourra noter que l'application t E lR 1-+ (2 sin(t), cos(�t)) est périodique, de période 47r, et on pourrait
établir en résolvant le système
{ sin(t) = sin(s)
cos(�t) = cos( � s)
pour (s, t) E [O, 47r[ 2 que l'arc paramétré cp possède sept points doubles.
2. L'arc paramétré cp: t E lR 1-+ (sin(t), sin( v'2 t)) représente lui aussi une courbe
de Lissajous dans IR 2 . L'arc paramétré cp n'est pas périodique (cela est lié au
fait que v'2 n'est pas un nombre rationnel). Montrons que l'origine est un point
simple de cet arc paramétré en résolvant le système
{ sin(t) = 0
sin( v'2 t) = 0
La première équation implique que t = kK avec k E Z et la seconde que
t = k' 7r / v'2 avec k' E Z. On doit donc avoir k = k' / v'2 pour que t soit solution des deux équations simultanément. Comme v'2 est un nombre irrationnel,
k' / v'2 est lui aussi un nombre irrationnel si k' =/= 0 et ne peut donc être égal à k
qui est un entier relatif. La seule solution du système est t = 0 et correspond à
k = k' = o.
Par contre, cette courbe paramétrée admet des points multiples. On peut par
exemple vérifier que cp(7r/(2 v'2 ) - 7r) = cp(7r/(2 v'2 ) + 7r).
3. Les courbes de Lissajous dans IR 3 sont les trajectoires d'un point dans l'espace
dont les composantes ont un mouvement sinusoïdal. Un paramétrage d'une
courbe de Lissajous est
cp: t E lR i--- --+ (bsi �1(�
(
2 ef>) ) ,
csin(µt + '1/J)
(Z)
où a , b, c, ry, µ, ef> et '1/J sont des réels. Lorsque la courbe ne s'« auto-intersecte »
pas (c'est-à-dire lorsqu'elle n'a pas de point multiple sur un intervalle de période), on dit qu'elle forme un « nœud » dans l'espace, appelé nœud de Lissajous. Les arcs paramétrés suivants �ont des nœuds de Lissajous < 34> :
t E lR i--- --+ ( ���g:j ) , t E lR i--- --+ ( ���f !!j ) et t E lR i--- --+ ( ���g:j ) ·
2sin(7t)
2sin(17t)
2sin(22t)
< 34> On vérifiera qu'ils sont C00-équivalents à un arc paramétré de la forme (2).