Courbes et surfaces
11.3.2 Propriétés des arcs paramétrés
DÉFINITION 11.10 (Point simple, point multiple)
743
Soit 'P E c 0 ( I, IR n ) un arc paramétré et C la courbe paramétrée qui lui est
associé.
X On dit que le point Mo de C est un point simple de l'arc paramétré 'P si il
existe un unique réel to E I tel que Mo = cp(to).
X Si Jv fo n'est pas un point simple de l 'arc paramétré 'P on dit que c 'est un
point multiple.
X On dit qu 'un point multiple Mo est un point double de l 'arc paramétré 'P
s 'il existe exactement deux réels distincts t1 et t 2 dans I tels que
Mo = cp(t1 ) = cp(t 2 ).
Remarques
1. Un arc paramétré simple, voir la définition 11.2, est un arc paramétré dont
tous les points sont simples.
2. Si un arc paramétré 'P E C 0 (I, IR n ) possède un nombre fini de points multiples
alors il existe un ensemble fini de réels deux à deux distincts { t 0 , ... , t N} E I N
tel que l'application 'P : I \ { t 0 , ... , tN} ---+ IR n soit injective, autrement dit
définisse un arc paramétré simple. Un arc paramétré possédant un nombre fini
de points multiples peut donc être considéré comme la réunion d'un nombre
fini d'arcs paramétrés simples.
3. Deux arcs paramétrés qui sont Ck-équivalents ont les mêmes points simples
(et les mêmes points multiples). Cela implique en particulier que si on dispose
de deux arcs paramétrés qui n'ont pas les mêmes points simples ou les mêmes
points multiples, alors quel que soit k E N* U { oo }, ces deux arcs paramétrés ne sorit pas Ck-équivalents. C'est le cas par exemple des arcs paramétrés
'P: t E [O, 2n[f-4 (cos(t), sin(t)) et 'ljJ : t E [O, 2n] f-4 (cos(t), sin(t)) car le point,
de coordonnées (1, 0) est un point simple de 'P mais un point double de 'ljJ (on a
îfa(O) = 'ljJ(2n) = (1, 0)). Ces deux arcs paramétrés admettent la même image
qui est le cercle centré à l'origine et de rayon 1 mais ne sont pas C 1 -équivalents.
4. En complément à la proposition 11.3, signalons que l'on peut montre /33>
qu'un arc paramétré qui possède au moins deux points simples est orientable. <>
Exercice 11.3 Soient 'P E C 0 (I, IR n ) et 'ljJ E C 0 (J, IR n ) deux arcs paramétrés Ck-équivalents et C la courbe paramétrée qui leur est associée.
1-Montrer que si Mo E C est un point simple de l'arc paramétré 'P alors Mo
est aussi un point simple de l'arc paramétré îfa.
2 - En déduire que si un arc paramétré est simple alors tous les arcs paramétrés qui lui sont Ck-équivalents sont simples.
(J3} Voir par exemple J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, Dunod,
Paris, 1977, t. 3, p. 259.
11.3.2 Propriétés des arcs paramétrés
DÉFINITION 11.10 (Point simple, point multiple)
743
Soit 'P E c 0 ( I, IR n ) un arc paramétré et C la courbe paramétrée qui lui est
associé.
X On dit que le point Mo de C est un point simple de l'arc paramétré 'P si il
existe un unique réel to E I tel que Mo = cp(to).
X Si Jv fo n'est pas un point simple de l 'arc paramétré 'P on dit que c 'est un
point multiple.
X On dit qu 'un point multiple Mo est un point double de l 'arc paramétré 'P
s 'il existe exactement deux réels distincts t1 et t 2 dans I tels que
Mo = cp(t1 ) = cp(t 2 ).
Remarques
1. Un arc paramétré simple, voir la définition 11.2, est un arc paramétré dont
tous les points sont simples.
2. Si un arc paramétré 'P E C 0 (I, IR n ) possède un nombre fini de points multiples
alors il existe un ensemble fini de réels deux à deux distincts { t 0 , ... , t N} E I N
tel que l'application 'P : I \ { t 0 , ... , tN} ---+ IR n soit injective, autrement dit
définisse un arc paramétré simple. Un arc paramétré possédant un nombre fini
de points multiples peut donc être considéré comme la réunion d'un nombre
fini d'arcs paramétrés simples.
3. Deux arcs paramétrés qui sont Ck-équivalents ont les mêmes points simples
(et les mêmes points multiples). Cela implique en particulier que si on dispose
de deux arcs paramétrés qui n'ont pas les mêmes points simples ou les mêmes
points multiples, alors quel que soit k E N* U { oo }, ces deux arcs paramétrés ne sorit pas Ck-équivalents. C'est le cas par exemple des arcs paramétrés
'P: t E [O, 2n[f-4 (cos(t), sin(t)) et 'ljJ : t E [O, 2n] f-4 (cos(t), sin(t)) car le point,
de coordonnées (1, 0) est un point simple de 'P mais un point double de 'ljJ (on a
îfa(O) = 'ljJ(2n) = (1, 0)). Ces deux arcs paramétrés admettent la même image
qui est le cercle centré à l'origine et de rayon 1 mais ne sont pas C 1 -équivalents.
4. En complément à la proposition 11.3, signalons que l'on peut montre /33>
qu'un arc paramétré qui possède au moins deux points simples est orientable. <>
Exercice 11.3 Soient 'P E C 0 (I, IR n ) et 'ljJ E C 0 (J, IR n ) deux arcs paramétrés Ck-équivalents et C la courbe paramétrée qui leur est associée.
1-Montrer que si Mo E C est un point simple de l'arc paramétré 'P alors Mo
est aussi un point simple de l'arc paramétré îfa.
2 - En déduire que si un arc paramétré est simple alors tous les arcs paramétrés qui lui sont Ck-équivalents sont simples.
(J3} Voir par exemple J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, Dunod,
Paris, 1977, t. 3, p. 259.