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Étude des arcs paramétrés
Remarques
1. La notion d'orientation pour les arcs géométriques induit une notion d'orientation pour les arcs paramétrés : un arc paramétré cp est orientable si l'arc
géométrique ''/tp correspondant à la classe d'équivalence de cp pour la relation
« être Ck-équivalent » est orientable (autrement dit si / ip possède exactement
deux classes d'équivalence pour la relation « être Ok-équivalent » ).
2. Deux arcs paramétrés qui sont Ck-équivalents pour k E N* U { oo} étant également C 1 -équivalents, on peut contenter · de la seule relation « être
0 1 -équivalent » pour étudier la possibilité d'orienter un arc (géométrique ou
paramétré).
<>
Les résultats que nous allons établir dans la suite du chapitre vont montrer que
les arcs paramétrés qui ne sont pas orientables sont relativement peu courants.
PROPOSITION 11.3 To ut arc paramétré simple < 3 1 > est orientable.
Démonstration Considérons un arc paramétré simple cp E C 0 (I, !R n ) et notons / ip l'arc géométrique correspondant à l'ensemble des arcs paramétrés
C 1 -équivalents à l'arc cp. Afin de montrer que l'arc paramétré cp est orientable,
il faut montrer qu'il existe dans l'ensemble / cp exactement deux classes d'équivalence pour la relation Ro : « être 0 1 -équivalent ».
Considérons l'arc paramétré 'ljJ : t E J i-t cp(-t) où J = {-t E lR ; t E I}. Cet
arc paramétré est C 1 -équivalent à l'arc cp car on a cp = 'ljJo() où () : t E I i-t -t E J
est clairement un C 1 -difféomorphisme. On a donc 'ljJ E / cp ·
Pour montrer que l'arc paramétré cp est orientable, nous allons montrer que
dans / cp , l'arc paramétré 'ljJ n'appartient pas à la même classe d'équivalence
que cp pour la relation Ra . Cela établira que / cp possède deux classes d'équivalence pour la relation Ro et par conséquent qu'il est orientable. Raisonnons
par l'absurde et s�posons que les arcs cp et 'ljJ sont 0 1 -équivalents : i!_ existe un
difféomorphisme () de J sur I strictement crois�nt tel que 'ljJ = cp o (). Comme
on a aussi cp = 'ljJ 0 e, on en déduit que cp = cp 0 () 0 e, c'est-à-dire que
Vt E I cp(t) = cp( B (B(t))).
Puisque l'application cp est injective, cette assertion implique que <32> pour tout
t E I on a t = B (B(t)), c'est-à-dire que B o () = id. Comme l' � plication
() : t E I i-t -t E J est strictement croissante et que l'application () est strictement décroissante, la composée e o 8 est strictement décroissante. Cela est
absurde car () o () = id et l'application id : t E I i-t t E I est strictement
croissante.
0
< 3 ' ) Rappelons, voir la définition 11.2, qu'un arc paramétré est injective.
< 3 2 > Rappelons, voir la définition 2.9 p. 41 du Cours de première année, que signifie que : 'v'(x, x ' ) E 1 2 (
Étude des arcs paramétrés
Remarques
1. La notion d'orientation pour les arcs géométriques induit une notion d'orientation pour les arcs paramétrés : un arc paramétré cp est orientable si l'arc
géométrique ''/tp correspondant à la classe d'équivalence de cp pour la relation
« être Ck-équivalent » est orientable (autrement dit si / ip possède exactement
deux classes d'équivalence pour la relation « être Ok-équivalent » ).
2. Deux arcs paramétrés qui sont Ck-équivalents pour k E N* U { oo} étant également C 1 -équivalents, on peut contenter · de la seule relation « être
0 1 -équivalent » pour étudier la possibilité d'orienter un arc (géométrique ou
paramétré).
<>
Les résultats que nous allons établir dans la suite du chapitre vont montrer que
les arcs paramétrés qui ne sont pas orientables sont relativement peu courants.
PROPOSITION 11.3 To ut arc paramétré simple < 3 1 > est orientable.
Démonstration Considérons un arc paramétré simple cp E C 0 (I, !R n ) et notons / ip l'arc géométrique correspondant à l'ensemble des arcs paramétrés
C 1 -équivalents à l'arc cp. Afin de montrer que l'arc paramétré cp est orientable,
il faut montrer qu'il existe dans l'ensemble / cp exactement deux classes d'équivalence pour la relation Ro : « être 0 1 -équivalent ».
Considérons l'arc paramétré 'ljJ : t E J i-t cp(-t) où J = {-t E lR ; t E I}. Cet
arc paramétré est C 1 -équivalent à l'arc cp car on a cp = 'ljJo() où () : t E I i-t -t E J
est clairement un C 1 -difféomorphisme. On a donc 'ljJ E / cp ·
Pour montrer que l'arc paramétré cp est orientable, nous allons montrer que
dans / cp , l'arc paramétré 'ljJ n'appartient pas à la même classe d'équivalence
que cp pour la relation Ra . Cela établira que / cp possède deux classes d'équivalence pour la relation Ro et par conséquent qu'il est orientable. Raisonnons
par l'absurde et s�posons que les arcs cp et 'ljJ sont 0 1 -équivalents : i!_ existe un
difféomorphisme () de J sur I strictement crois�nt tel que 'ljJ = cp o (). Comme
on a aussi cp = 'ljJ 0 e, on en déduit que cp = cp 0 () 0 e, c'est-à-dire que
Vt E I cp(t) = cp( B (B(t))).
Puisque l'application cp est injective, cette assertion implique que <32> pour tout
t E I on a t = B (B(t)), c'est-à-dire que B o () = id. Comme l' � plication
() : t E I i-t -t E J est strictement croissante et que l'application () est strictement décroissante, la composée e o 8 est strictement décroissante. Cela est
absurde car () o () = id et l'application id : t E I i-t t E I est strictement
croissante.
0
< 3 ' ) Rappelons, voir la définition 11.2, qu'un arc paramétré est injective.
< 3 2 > Rappelons, voir la définition 2.9 p. 41 du Cours de première année, que signifie que : 'v'(x, x ' ) E 1 2 (
x = x').