Courbes et surfaces
741
Fig. 3 Situation considérée.
Un autre vecteur directeur de la droite D est le vecteur de composantes (-2, 2)
et la droite passe par le point B de coordonnées (2, 0). Cette seconde description
conduit à proposer pour autre paramétrage de la droite D, voir p. 724,
'ljJ : t E lR i--- --+ (2 - 2t, 2t) .
Les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ sont C00-équivalents puisque cp = 'ljJ o () où
() : t E lR 1-t !(1 - t) E lR est un C00-difféomorphisme. Puisque l'application ()
est strictement décroissante sur IR, les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ ne sont
pas 0 1 -équivalents. Il n'appartiennent donc pas à la même classe d'équivalence
pour la relation Ro « ê1!e Ok-équivalent ». On pe_!;lt montrer c 3 o > qu'il n'existe
pas de difféomorphisme () croissant tel que cp = 'ljJ o (). Il existe donc deux classes
d'équivalence pour la relation Ro . On en déduit que l'arc géométrique dont le
support est la droite D est orientable et que les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ
fournissent les deux orientations de l'arc géométrique.
2. Les applications suivantes constituent deux paramétrages du cercle centré à
l'origine et de rayon 1, voir p. 724,
cp : t E [O, 27r] i--- --+ ( cos(t), sin(t)) ,
'ljJ : t E [O, 27r] i--- --+ (cos(t), - sin(t)) .
Les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ sont C00-équivalents puisque cp = 'ljJ o ()où on
établit aisément que () : t E [O, 27r] 1-t 27r - t E [O, 27r] est un C00-difféomorphisme.
Puisque l'application () est strictement décroissante sur IR, les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ ne sont pas 0 1 -équivalents. Il n'appartiennent donc pas à la
même classe d'équivalence pour la relation Ro « être Ok-équivalent ». On peut
montrer c 3 o > qu'il n'existe pas de difféomorphisme B croissant tel que cp = 'ljJ o B .
Il existe donc deux classes d'équivalence pour la relation Ro . On en déduit que
l'arc géométrique dont le support est le cercle centré à l'origine et de rayon 1 est
orientable et les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ fournissent les deux orientations
possibles de l'arc géométrique. L'orientation déterminée par cp est habituellement appelée orientation dans le sens sens trigonométrique et l'orientation
déterminée par 'ljJ orientation dans le sens sens antitrigonométrique.
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Vmr la preuve de la propos1t10n 11.3 pour un aperçu de la méthode.
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Fig. 3 Situation considérée.
Un autre vecteur directeur de la droite D est le vecteur de composantes (-2, 2)
et la droite passe par le point B de coordonnées (2, 0). Cette seconde description
conduit à proposer pour autre paramétrage de la droite D, voir p. 724,
'ljJ : t E lR i--- --+ (2 - 2t, 2t) .
Les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ sont C00-équivalents puisque cp = 'ljJ o () où
() : t E lR 1-t !(1 - t) E lR est un C00-difféomorphisme. Puisque l'application ()
est strictement décroissante sur IR, les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ ne sont
pas 0 1 -équivalents. Il n'appartiennent donc pas à la même classe d'équivalence
pour la relation Ro « ê1!e Ok-équivalent ». On pe_!;lt montrer c 3 o > qu'il n'existe
pas de difféomorphisme () croissant tel que cp = 'ljJ o (). Il existe donc deux classes
d'équivalence pour la relation Ro . On en déduit que l'arc géométrique dont le
support est la droite D est orientable et que les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ
fournissent les deux orientations de l'arc géométrique.
2. Les applications suivantes constituent deux paramétrages du cercle centré à
l'origine et de rayon 1, voir p. 724,
cp : t E [O, 27r] i--- --+ ( cos(t), sin(t)) ,
'ljJ : t E [O, 27r] i--- --+ (cos(t), - sin(t)) .
Les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ sont C00-équivalents puisque cp = 'ljJ o ()où on
établit aisément que () : t E [O, 27r] 1-t 27r - t E [O, 27r] est un C00-difféomorphisme.
Puisque l'application () est strictement décroissante sur IR, les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ ne sont pas 0 1 -équivalents. Il n'appartiennent donc pas à la
même classe d'équivalence pour la relation Ro « être Ok-équivalent ». On peut
montrer c 3 o > qu'il n'existe pas de difféomorphisme B croissant tel que cp = 'ljJ o B .
Il existe donc deux classes d'équivalence pour la relation Ro . On en déduit que
l'arc géométrique dont le support est le cercle centré à l'origine et de rayon 1 est
orientable et les deux arcs paramétrés cp et 'ljJ fournissent les deux orientations
possibles de l'arc géométrique. L'orientation déterminée par cp est habituellement appelée orientation dans le sens sens trigonométrique et l'orientation
déterminée par 'ljJ orientation dans le sens sens antitrigonométrique.
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Vmr la preuve de la propos1t10n 11.3 pour un aperçu de la méthode.