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Étude des arcs paramétrés
Exercice 11.2 Montrer que la relation no définie par « les arcs paramétrés cp E C 0 (J,R n ) et 'ljJ E C 0 (J, R n ) sont Ok-équivalents » est une relation
· d'équivalence sur l'ensemble des arcs paramétrés < � 9> .
LEMME 11.1 To ut arc géométrique de classe c k est la réunion d 'au plus deux
classes d'équivalence pour la relation no : « étre O k -équivalent ».
Démonstration Raisonnons par l'absurde ; supposons qu'il y ait au moins
trois classes d'équivalence, pour la relation no dans un arc géométrique 'Y·
Notons cp1 E C 0 (J i ,R n ), cp 2 E C 0 (I 2 ,R n ) et cp3 E C 0 (IJ,R n ) trois arcs paramétrés appartenant à 'Y et représentant ces trois classes pour la relation no .
Les trois arcs cp1 , cp 2 et cp3 sont par hypothèse Ck-équivalents deux à deux (car
ils appartiennent à 'Y) mais ne sont pas Ok-équivalents (car ils n'appartiennent
pas à la même classe d'équivalence pour no) . Il existe par conséquent un
Ck-difféomorphisme 8 1 2 de h vers I 1 qui n'est pas strictement croissant tel que
cp 2 = cp1 081 2 . Puisqu'un difféomorphisme d'un intervalle de R vers un intervalle
de R qui n'est pas strictement croissant est strictement décroissant <28> , l'application 81 2 est strictement décroissante. De même, il existe un Ck-difféomorphisme
8 2 3 de h vers I 2 , strictement décroissant, tel que cp3 = cp 2 o 8 2 3. On déduit de
ces considérations que cp 3 = 'P l 0 81 2 0 8 2 3 , autrement dit que cp3 = 'P l 0 8
où 8 = 81 2 o 8 2 3 est un Ck-difféomorphisme de h dans I1 . L'application 8 est
strictement croissante car c'est la composée de deux applications strictement
décroissantes. On peut donc affirmer d'après la relation cp3 = cp1 o8 que les arcs
cp1 et cp3 sont Ok-équivalents. Cela contredit l'hypothèse initiale. Il ne peut
donc exister plus de deux classes d'équivalence pour la relation no dans un
arc géométrique 'Y·
D
Il découle du lemme 11.1, qu'un arc géométrique admet ou bien une ou bien
deux classes d'équivalence.
DÉFINITION 11.9 (Arc orientable)
On dit qu 'un arc géométrique est orientable lorsqu 'il est la réunion d 'exactement deux classes d 'équivalence pour la relation « étre ok -équivalent ». Orienter un arc géométrique, c 'est choisir l 'une de ces deux classes.
Exemples
1. Considérons dans le plan, la droite D passant par le point A de coordonnées (1, 1) et dirigée par le vecteur de composantes (1, -1), voir la figure 3. Un
paramétrage de la droite D est, voir p. 724,
cp : t E R 1--- --7 (1 + t, 1 - t) .
<29> On pourra s'inspirer de la démonstration de la proposition 11.2.
Étude des arcs paramétrés
Exercice 11.2 Montrer que la relation no définie par « les arcs paramétrés cp E C 0 (J,R n ) et 'ljJ E C 0 (J, R n ) sont Ok-équivalents » est une relation
· d'équivalence sur l'ensemble des arcs paramétrés < � 9> .
LEMME 11.1 To ut arc géométrique de classe c k est la réunion d 'au plus deux
classes d'équivalence pour la relation no : « étre O k -équivalent ».
Démonstration Raisonnons par l'absurde ; supposons qu'il y ait au moins
trois classes d'équivalence, pour la relation no dans un arc géométrique 'Y·
Notons cp1 E C 0 (J i ,R n ), cp 2 E C 0 (I 2 ,R n ) et cp3 E C 0 (IJ,R n ) trois arcs paramétrés appartenant à 'Y et représentant ces trois classes pour la relation no .
Les trois arcs cp1 , cp 2 et cp3 sont par hypothèse Ck-équivalents deux à deux (car
ils appartiennent à 'Y) mais ne sont pas Ok-équivalents (car ils n'appartiennent
pas à la même classe d'équivalence pour no) . Il existe par conséquent un
Ck-difféomorphisme 8 1 2 de h vers I 1 qui n'est pas strictement croissant tel que
cp 2 = cp1 081 2 . Puisqu'un difféomorphisme d'un intervalle de R vers un intervalle
de R qui n'est pas strictement croissant est strictement décroissant <28> , l'application 81 2 est strictement décroissante. De même, il existe un Ck-difféomorphisme
8 2 3 de h vers I 2 , strictement décroissant, tel que cp3 = cp 2 o 8 2 3. On déduit de
ces considérations que cp 3 = 'P l 0 81 2 0 8 2 3 , autrement dit que cp3 = 'P l 0 8
où 8 = 81 2 o 8 2 3 est un Ck-difféomorphisme de h dans I1 . L'application 8 est
strictement croissante car c'est la composée de deux applications strictement
décroissantes. On peut donc affirmer d'après la relation cp3 = cp1 o8 que les arcs
cp1 et cp3 sont Ok-équivalents. Cela contredit l'hypothèse initiale. Il ne peut
donc exister plus de deux classes d'équivalence pour la relation no dans un
arc géométrique 'Y·
D
Il découle du lemme 11.1, qu'un arc géométrique admet ou bien une ou bien
deux classes d'équivalence.
DÉFINITION 11.9 (Arc orientable)
On dit qu 'un arc géométrique est orientable lorsqu 'il est la réunion d 'exactement deux classes d 'équivalence pour la relation « étre ok -équivalent ». Orienter un arc géométrique, c 'est choisir l 'une de ces deux classes.
Exemples
1. Considérons dans le plan, la droite D passant par le point A de coordonnées (1, 1) et dirigée par le vecteur de composantes (1, -1), voir la figure 3. Un
paramétrage de la droite D est, voir p. 724,
cp : t E R 1--- --7 (1 + t, 1 - t) .
<29> On pourra s'inspirer de la démonstration de la proposition 11.2.