Courbes et surfaces
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- est de classe c i sur [ü, 1] mais n'est pas de classe C 2 sur [O, 1] car elle n'est
pas deux fois dérivable en 0,
- est injective puisqu'elle est strictement croissante sur [O, 1],
- est surjective puisque B([O, 1]) = [ü, 2],
- admet une dérivée B' : t E [O, 1] � 1 + � v't qui ne s'annule pas sur [O, l].
On en conclut <21) que l'application B est c i -difféomorphisme mais n'est pas un
C 2 -difféomorphisme ; les deux arcs paramétrés

mais ne sont pas C 2 -équivalents.
Exercice 11.1
1 - Montrer que les applications

ayant la même image.
2 - Ces arcs paramétrés sont-ils C 1 -équivalents ?
3 - Montrer que l'arc paramétré

C00-équivalent à l'arc paramétré

Orientation des arcs paramétrés
Soient

D'après la définition 11.7, il existe un Ck-difféomorphisme B de I sur J tel que

étant des applications strictement monotones <28) , on peut les classer en deux
catégories : ceux qui sont strictement croissants et ceux qui sont strictement
décroissants. Cela nous amène à introduire la définition suivante.
DÉFINITION 11.8 Soient

strictement croissant tel que

Considérons un arc paramétré

correspondant à la classe d'équivalence d( Ck-équivalent », voir la proposition 11.2. L'arc géométrique / ip est l'ensemble
des arcs paramétrés qui sont Ck-équivalents à l'arc paramétré

de regrouper entre eux les arcs paramétrés de / ip qui se déduisent l'un de l'autre
par un changement de paramétrage strictement croissant.
(28) En effet, un difféomorphisme 8 de I vers J = 8(1) étant continu, si il n'était pas strictement monotone, il existerait des éléments distincts x1 et x 2 dans I tel que 8(x1) = 8(x 2 )
ce qui contredirait le fait qu'un difféomorphisme est injectif.