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Étude des arcs paramétrés
2. Les deux arcs paramétrés
- de classe C00 sur [O, 1],
- injective puisque strictement décroissante sur [O, 1],
- surjective puisque B( [O, 1]) = [O, 1],
- dont la dérivée B' ne s'annule pas sur [O, l].
Ils ont pour image la courbe paramétrée {(x, y) E IR 2 ; x E [O, 1] et x =y} ,
autrement dit le segment de droite joignant le point de coordonnées (1, 1) à
l'origine (0, 0).
3. Les arcs paramétrés
cp : t E [-1, 1] � (1 - itl , 1 - ltl ) et 7/J: t E [0, 1] r-+ (t, t)
ont pour image la courbe paramétrée {(x, y) E IR 2 ; x E [O, 1] et x =:=y}, autrement dit le segment de droite joignant le point de coordonnées (1, 1) à l'origine. Cependant, ces deux arcs paramétrés ne sont Ck-équivalents pour aucune valeur de k E N* U { oo}. En effet, pour que ces arcs paramétrés soient
Ck-équivalents, il doit exister un Ck-difféomorphisme e de [-1, 1] dans [O, 1] tel
que Vt E [-1, 1]
1 - ltl = B(t).
La seule application B telle que cp = 7/J o B est donc B : t E [-1, 1 J r-+ 1 - ltl ;
elle n'est pas bijective (remarquer par exemple que B(l) = B(-1) = 0) donc ce
n'est pas un difféomorphisme.
4. Montrons que l'arc paramétré classe C 2 et l'arc paramétré 'ljJ : t E [O, 2] r-+ (t 2 , 0) qui est de classe C00 sont
C 1 -équivalents mais ne sont pas C 2 -équivalents. Remarquons tout d'abord que
7/J est de classe C 2 sur [O, 1] mais n'est pas de classe C 3 ; en effet, la première
fonction coordonnées s'écrit 7/;1 : t r-+ t 3 + 2 d + t 2 et la fonction puissance 5/2
est deux fois dérivable sur [O, 1] et admet pour dérivée seconde l'application
t E [O, 1] r-+ 1 J Jt qui est continue sur {O, 1] mais n'est pas dérivable en O.
Établir que les arc paramétrés cp et 7/J sont C 1 -équivalents revient à établir
l'existence d'un C 1 -difféomorphisme e de [O, 1] dans [O, 2] tel que autrement dit tel que
Vt E [O, 1]
Le fait que e doit être continue implique que e est l'une des deux applications
t E [O, 1] � t + t � ou t E [O, 1] � -(t + t � ).
Seule la première de ces deux applications est à valeurs dans [O, 2] ce qui implique que B: t E [O, 1] r-+ t + â E [O, 2]. Cette application :
<27> Voir le théorème d'inversion globale p. 665.
Étude des arcs paramétrés
2. Les deux arcs paramétrés
- de classe C00 sur [O, 1],
- injective puisque strictement décroissante sur [O, 1],
- surjective puisque B( [O, 1]) = [O, 1],
- dont la dérivée B' ne s'annule pas sur [O, l].
Ils ont pour image la courbe paramétrée {(x, y) E IR 2 ; x E [O, 1] et x =y} ,
autrement dit le segment de droite joignant le point de coordonnées (1, 1) à
l'origine (0, 0).
3. Les arcs paramétrés
cp : t E [-1, 1] � (1 - itl , 1 - ltl ) et 7/J: t E [0, 1] r-+ (t, t)
ont pour image la courbe paramétrée {(x, y) E IR 2 ; x E [O, 1] et x =:=y}, autrement dit le segment de droite joignant le point de coordonnées (1, 1) à l'origine. Cependant, ces deux arcs paramétrés ne sont Ck-équivalents pour aucune valeur de k E N* U { oo}. En effet, pour que ces arcs paramétrés soient
Ck-équivalents, il doit exister un Ck-difféomorphisme e de [-1, 1] dans [O, 1] tel
que Vt E [-1, 1]
1 - ltl = B(t).
La seule application B telle que cp = 7/J o B est donc B : t E [-1, 1 J r-+ 1 - ltl ;
elle n'est pas bijective (remarquer par exemple que B(l) = B(-1) = 0) donc ce
n'est pas un difféomorphisme.
4. Montrons que l'arc paramétré classe C 2 et l'arc paramétré 'ljJ : t E [O, 2] r-+ (t 2 , 0) qui est de classe C00 sont
C 1 -équivalents mais ne sont pas C 2 -équivalents. Remarquons tout d'abord que
7/J est de classe C 2 sur [O, 1] mais n'est pas de classe C 3 ; en effet, la première
fonction coordonnées s'écrit 7/;1 : t r-+ t 3 + 2 d + t 2 et la fonction puissance 5/2
est deux fois dérivable sur [O, 1] et admet pour dérivée seconde l'application
t E [O, 1] r-+ 1 J Jt qui est continue sur {O, 1] mais n'est pas dérivable en O.
Établir que les arc paramétrés cp et 7/J sont C 1 -équivalents revient à établir
l'existence d'un C 1 -difféomorphisme e de [O, 1] dans [O, 2] tel que autrement dit tel que
Vt E [O, 1]
Le fait que e doit être continue implique que e est l'une des deux applications
t E [O, 1] � t + t � ou t E [O, 1] � -(t + t � ).
Seule la première de ces deux applications est à valeurs dans [O, 2] ce qui implique que B: t E [O, 1] r-+ t + â E [O, 2]. Cette application :
<27> Voir le théorème d'inversion globale p. 665.