Courbes et surfaces
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Remarques
1. Comme une application de classe Ck est également de classe ce pour tout
entier R tel que 1 � R � k, si deux arcs paramétrés sont Ck-équivalents alors ils
sont également ce-équivalents pour tout entier e tel que 1 � e � k.
2. Deux arcs paramétrés cp E C 0 (I, IR. n ) et 'ljJ E C 0 (J, IR. n ) qui sont Ck-équivalents
ont pour image la même courbe paramétrée C puisque cp(J) = 'ljJ(B(I)) = 'ljJ(J).
Ces deux arcs paramétrés appartiennent au même arc géométrique / ip ; la
courbe paramétrée C qui est leur image commune est appelée support de l 'arc
géométrique / ip ·
o
On peut représenter schématiquement la situation de la manière suivante :
Arcs paramétrés
Ck-équivalents
Arc géométrique
=
classe d'équivalence
Courbe paramétrée
associée à cp, 7/J1 , 7/J2
Support
de l'arc géométrique
1 Deux arcs paramétrés peuvent avoir pour image la même courbe paramétrée
sans être Ck-équivalents pour aucun k E N* U { oo} comme le montrent les
exemples ·suivants.
Exemples
1. Les deux arcs paramétrés
cp : t E [0, 7r] 1--- -+ (cos(t),sin(t)) et 'ljJ : t E [-1, l] 1--- -+ (t, vll=t2 )
vérifient cp = 'ljJ o () où () : t E [O, 7r] 1--4 cos(t) E [-1 , 1]. L'application () est
une bijection de classe C00 dont la réciproque arccos n'est pas dérivable en -1
et 1. Il ne s'agit donc pas d'un C 1 -difféomorphisme et par conséquent les arcs
paramétrés cp et 'ljJ ne sont pas C 1 -équivalents bien qu'ils aient la même image :
le demi-cercle de centre (0, 0) et de rayon 1 situé dans le demi-plan supérieur.
Toutefois, l'application arccos étant de classe C00 sur ] - 1, 1[, les deux arcs
paramétrés
cp : t E]0, 7r[1--- -+ (cos(t),sin(t)) et 'ljJ : t E] -1, 1[1--- -+ (t, vll=t2 )
sont C00-équivalents.