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Étude des arcs paramétrés
Si l'arc paramétré 'lj; E C 0 (J,1R n ) est Ck-équivalent à l'arc paramétré
cp E C 0 (J, IR n ), on dit que 'lj; se déduit de cp par le changement de paramétrage ().
PROPOSITION 11.2 (Arc géométrique)
Pour tout k E N* U { oo }, la relation n définie par « les arcs paramétrés
'lj; E c 0 (J, 1R n ) et cp E C 0 (J, 1R n ) sont C k -équivalents » est une relation d 'équivalence < 26 > sur l 'ensemble des arcs paramétrés. On appelle arc géométrique de
classe ck toute classe d 'équivalence ( 26 > pour cette relation.
Démonstration Pour montrer que la relation n est une relation d'équivalence sur l'ensemble des arcs paramétrés, il faut montrer <26> qu'elle est réflexive,
symétrique et transitive.
!'.'.'. La relation n est réflexive puisque tout arc paramétré cp E c 0 (I, IR n ) est
équivalent à lui-même. On a en effet cp = cp o () où () est l'identité et l'identité
est un Ck-difféomorphisme pour tout k EN* U { oo } .
!'.'.'. Montrons que la relation R est symétrique. Si cp E C 0 (I, IR n ) est un arc
paramétré Ck-équivalent à l'arc paramétré '1j; E C 0 (J, IR n ) alors il existe un
Ck-difféomorphisme () de I sur J tel que cp = 'lj; o (). L'application () étant bijective, on a 'lj; = cpoe-1 où e - 1 désigne la bijection réciproque de () et par définition
d'un difféomorphisme <2s> , l'application e - 1 est aussi un Ck-difféomorphisme. La
relation 'lj; = cpo() -l permet donc de conclure que l'arc paramétré 'lj; E C 0 (J, IR.n )
est Ck-équivalent à l'arc paramétré cp E C 0 (I, IR n ).
!'.'.'. Montrons que la relation n est transitive. Considérons trois arcs paramétrés cp E C 0 (I, 1R n ), 'lj; E C 0 (J, 1R n ) et ( E C 0 (K, 1R n ) où l, Je t K désignent
trois intervalles de JR et supposons d'une part que 'lj; est Ck-équivalent à cp
et d'autre part que ( est Ck-équivalent à 'lj;. Nous devons montrer que ( est
Ck-équivalent à cp. D'après les hypothèses, il existe un Ck-difféomorphisme () 1
de I sur J tel que cp = 'lj; o () 1 et il existe un Ck-difféomorphisme () 2 de J sur K
tel que 'I/; = ( o e 2 . On en déduit que cp = ( o e 2 o e 1 . L'application () = e 2 o () 1 qui
est la composée de deux bijections de classe Ck est une bijection de classe Ck
sur I. Sa bijection réciproque e - 1 = e11 o e21 qui est la composée de deux
bijections de classe Ck est une bijection de classe Ck sur K. L'application () est
donc un Ck-difféomorphisme de I sur K et la relation cp = ( o () indique que
l'arc paramétré ( est Ck-équivalent à l'arc paramétré cp.
D
On ne confondra pas arc paramétré et arc géométrique. Un arc paramétré est
une application d'un intervalle de JR dans IR n alors qu'un arc géométrique,
défini comme une classe d'équivalence pour la relation n, est un ensemble
d'applications ; c'est l'ensemble de tous les arcs paramétrés Ck-équivalents
à un arc paramétré donné (que l'on appelle le représentant de la classe) .
<26> Voir les définitions 2.28 et 2.29 p. 55 du Cours de première année.
Étude des arcs paramétrés
Si l'arc paramétré 'lj; E C 0 (J,1R n ) est Ck-équivalent à l'arc paramétré
cp E C 0 (J, IR n ), on dit que 'lj; se déduit de cp par le changement de paramétrage ().
PROPOSITION 11.2 (Arc géométrique)
Pour tout k E N* U { oo }, la relation n définie par « les arcs paramétrés
'lj; E c 0 (J, 1R n ) et cp E C 0 (J, 1R n ) sont C k -équivalents » est une relation d 'équivalence < 26 > sur l 'ensemble des arcs paramétrés. On appelle arc géométrique de
classe ck toute classe d 'équivalence ( 26 > pour cette relation.
Démonstration Pour montrer que la relation n est une relation d'équivalence sur l'ensemble des arcs paramétrés, il faut montrer <26> qu'elle est réflexive,
symétrique et transitive.
!'.'.'. La relation n est réflexive puisque tout arc paramétré cp E c 0 (I, IR n ) est
équivalent à lui-même. On a en effet cp = cp o () où () est l'identité et l'identité
est un Ck-difféomorphisme pour tout k EN* U { oo } .
!'.'.'. Montrons que la relation R est symétrique. Si cp E C 0 (I, IR n ) est un arc
paramétré Ck-équivalent à l'arc paramétré '1j; E C 0 (J, IR n ) alors il existe un
Ck-difféomorphisme () de I sur J tel que cp = 'lj; o (). L'application () étant bijective, on a 'lj; = cpoe-1 où e - 1 désigne la bijection réciproque de () et par définition
d'un difféomorphisme <2s> , l'application e - 1 est aussi un Ck-difféomorphisme. La
relation 'lj; = cpo() -l permet donc de conclure que l'arc paramétré 'lj; E C 0 (J, IR.n )
est Ck-équivalent à l'arc paramétré cp E C 0 (I, IR n ).
!'.'.'. Montrons que la relation n est transitive. Considérons trois arcs paramétrés cp E C 0 (I, 1R n ), 'lj; E C 0 (J, 1R n ) et ( E C 0 (K, 1R n ) où l, Je t K désignent
trois intervalles de JR et supposons d'une part que 'lj; est Ck-équivalent à cp
et d'autre part que ( est Ck-équivalent à 'lj;. Nous devons montrer que ( est
Ck-équivalent à cp. D'après les hypothèses, il existe un Ck-difféomorphisme () 1
de I sur J tel que cp = 'lj; o () 1 et il existe un Ck-difféomorphisme () 2 de J sur K
tel que 'I/; = ( o e 2 . On en déduit que cp = ( o e 2 o e 1 . L'application () = e 2 o () 1 qui
est la composée de deux bijections de classe Ck est une bijection de classe Ck
sur I. Sa bijection réciproque e - 1 = e11 o e21 qui est la composée de deux
bijections de classe Ck est une bijection de classe Ck sur K. L'application () est
donc un Ck-difféomorphisme de I sur K et la relation cp = ( o () indique que
l'arc paramétré ( est Ck-équivalent à l'arc paramétré cp.
D
On ne confondra pas arc paramétré et arc géométrique. Un arc paramétré est
une application d'un intervalle de JR dans IR n alors qu'un arc géométrique,
défini comme une classe d'équivalence pour la relation n, est un ensemble
d'applications ; c'est l'ensemble de tous les arcs paramétrés Ck-équivalents
à un arc paramétré donné (que l'on appelle le représentant de la classe) .
<26> Voir les définitions 2.28 et 2.29 p. 55 du Cours de première année.