Courbes et surfaces
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Elle possède deux valeurs propres distinctes qui sont 2 et -2. D 'après la proposition 11.1, on en déduit que le plan z = 0 traverse la surface au point (0, O).
On peut visualiser avec MAPLE la surface et son plan tangent à l'origine.
> plot3d ({x�2-y�2,0} ,x=- 1 . . 1,y=-1 .. 1) ;
11.3 Étude des arcs paramétrés
D ans cette partie 1 et J désignent deux intervalles dans R Nous définissons en
toute généralité la notion d'arc paramétré dans IR" ; les deux cas particuliers
importants sont le cas n = 2 correspondant aux arcs paramétrés dans le plan
et le cas n = 3 correspondant aux arcs paramétrés dans l'espace.
11.3.1 Classification des arcs paramétrés
Plusieurs arcs paramétrés <24> peuvent avoir la même image et décrire la même
courbe paramétrée. Par exemple, le demi-cercle de centre (0, 0) et de rayon 1
situé dans le demi-plan supérieur peut être décrit par les deux arcs paramétrés
cp : t E [O, 7r] 1-t (cos(t) , sin(t)) et 7/J : t E [- 1, l] 1-t (t, Jl=t2) . Il est donc
naturel de vouloir essayer de regrouper certains arcs paramétrés décrivant une
m' ême courbe et possédant des propriétés communes. Ce regroupement s'effectue par le biais d'une relation d 'équivalence sur l'ensemble des arcs paramétrés.
DÉFINITION 11. 7 (Arcs paramétrés C k -équivalents)
Soit k E N* U {oo}. On dit que l 'arc paramétré 7/J E C 0 (J, !R n ) est
Ck-équivalent à l'arc paramétré cp E C 0 (J, !R n ) s 'il existe un C k -difféo.
(25)
.
morphisme () de 1 sur J tel que l 'on ait cp = 7/J o B.
<24> Voir la définition 11.1 p. 714.
<25> Rappelons, voir la définition 10.15 p. 664 qu'un C k -difféomorphisme est une application
de classe c k , bijective dont la réciproque est elle aussi de classe c k . S'agissant ici d'un
difféomorphisme entre intervalles de IR, on notera que la dérivé de 9 ne s'annule pas sur I.
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Elle possède deux valeurs propres distinctes qui sont 2 et -2. D 'après la proposition 11.1, on en déduit que le plan z = 0 traverse la surface au point (0, O).
On peut visualiser avec MAPLE la surface et son plan tangent à l'origine.
> plot3d ({x�2-y�2,0} ,x=- 1 . . 1,y=-1 .. 1) ;
11.3 Étude des arcs paramétrés
D ans cette partie 1 et J désignent deux intervalles dans R Nous définissons en
toute généralité la notion d'arc paramétré dans IR" ; les deux cas particuliers
importants sont le cas n = 2 correspondant aux arcs paramétrés dans le plan
et le cas n = 3 correspondant aux arcs paramétrés dans l'espace.
11.3.1 Classification des arcs paramétrés
Plusieurs arcs paramétrés <24> peuvent avoir la même image et décrire la même
courbe paramétrée. Par exemple, le demi-cercle de centre (0, 0) et de rayon 1
situé dans le demi-plan supérieur peut être décrit par les deux arcs paramétrés
cp : t E [O, 7r] 1-t (cos(t) , sin(t)) et 7/J : t E [- 1, l] 1-t (t, Jl=t2) . Il est donc
naturel de vouloir essayer de regrouper certains arcs paramétrés décrivant une
m' ême courbe et possédant des propriétés communes. Ce regroupement s'effectue par le biais d'une relation d 'équivalence sur l'ensemble des arcs paramétrés.
DÉFINITION 11. 7 (Arcs paramétrés C k -équivalents)
Soit k E N* U {oo}. On dit que l 'arc paramétré 7/J E C 0 (J, !R n ) est
Ck-équivalent à l'arc paramétré cp E C 0 (J, !R n ) s 'il existe un C k -difféo.
(25)
.
morphisme () de 1 sur J tel que l 'on ait cp = 7/J o B.
<24> Voir la définition 11.1 p. 714.
<25> Rappelons, voir la définition 10.15 p. 664 qu'un C k -difféomorphisme est une application
de classe c k , bijective dont la réciproque est elle aussi de classe c k . S'agissant ici d'un
difféomorphisme entre intervalles de IR, on notera que la dérivé de 9 ne s'annule pas sur I.