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Surfaces cartésiennes dans l'espace
En (0, 0), ces deux dérivées sont nulles et l'équation du plan tangent est z = O.
Les dérivées partielles secondes de f sont
fJ2 f
ô 2 f
-
ô ô
(x, y) = -
ô ô
(x, y) = O
X y
y X
ce qui implique que la matrice hessienne de f en (0, 0) est :
H1 ( ü ,O) = G �) .
Elle admet une valeur propre double qui est 2. D'après la proposition 11.1, on
en déduit qu'au voisinage de l'origine le paraboloïde elliptique est au-dessus du
plan z =O. La proposition 11.1 ne permet de préciser la position du paraboloïde
par rapport au plan tangent d'équation z = 0 qu'au voisinage de l'origine mais
comme que pour tout (x, y) E IR 2 on a f(x, y) = x 2 + y 2 � 0, on peut affirmer
que le paraboloïde est partout au-dessus du plan d'équation z = O.
On peut visualiser avec MAPLE le paraboloïde et son plan tangent à l'origine.
> plot3d ({x-2+y-2 ,0} ,x=-1 .. 1,y=-1 .. 1) ;
2. Considérons le paraboloïde hyperbolique d'équation z = x 2 - y 2 • L'application f : (x, y) E IR 2 � x 2 - y 2 est de classe C00 sur !R 2 et a pour dérivées
partielles premières en ( x, y) E IR 2
ôf
âf
ôx
(x, y) = 2x et ôy
(x, y) = -2y.
En (0, 0), ces deux dérivées sont nulles et l'équation du plan tangent est z =O.
Les dérivées partielles secondes de f sont
ô 2 j
ô 2 j
ôxôy
(x, y) = ôyôx
(x, y) = O
ce qui implique que la matrice hessienne de f en (0, 0) est :