Courbes et surfaces
733
Si f est de classe C 2 , en utilisant la formule de Taylor <21> à l'ordre 2 au voisinage
de (xo, Yo), on obtient :
/:::,. = H(x - xo) 2 a; 2 f(xo, Yo) + 2(x - xo)(y - yo) o ; y f(xo, Yo)
+ (y - yo) 2 0 ; 2 f(xo, Yo)) + O ( x0 ,y0 ) ( 11 (x - Xo,y - yo) /1 2 )
1 t (X - Xo)
(X - Xo)
2
= 2 y _ Yo
·
H1 (xo, Yo) · y _ Yo
+ O ( x0,y0 ) ( 11 (x - Xo, Y - Yo)ll ).
Le signe de /:::,. au voisinage de (xo, y0) est c22> donné par le signe de la quantité
t (X - Xo)
.
(X - Xo)
y _ Yo
· H1 (xo, Yo) · y - yo .
Il dépend des valeurs propres de la matrice hessienne H1 (xo, Yo) E Mz(IR).
Rappelons <23> que sous l'hypothèse où f est de classe C 2 , le théorème de Schwarz
indique que la matrice H f ( xo, Yo) est symétrique et que par conséquent ses deux
valeurs propres sont réelles. Selon le signe de celles-ci, on peut déterminer <22>
localement la position relative de la surface par rapport à son plan tangent
en (xo, Yo, f (xo, yo)). Les différentes situations envisageables au voisinage de ce
point sont précisées dans la proposition suivante.
PROPOSITION 11.1 (Position du plan tangent)
Soit f une application de classe C 2 définie sur un ouvert U de IR 2 à valeurs
dans lR et soient ..\1 et ..\ 2 (avec ..\1 � ..\ 2 ) les deux valeurs propres réelles de
la matrice hessienne de f en (xo, Yo) EU.
La position de la surface cartésienne d 'équation z = f(x, y) par rapport à son
plan tangent en Mo = (xo, yo ,J(xo, Yo)) est donnée, au voisinage de Mo, de
la manière suivante :
1. si 0 < ..\1 � ..\ 2 alors le plan tangent en Mo est en dessous de la surface ;
2. si ..\1 � ..\ 2
< 0 alors le plan tangent en Mo est au-dessus de la surface ;
3. si ..\1 < 0 < ..\ 2 alors le plan tangent en Mo traverse la surface ;
4. si ..\1 = 0 ou ..\ 2 = 0 alors on ne peut pas conclure.
Exemples
1. Considérons le paraboloïde elliptique d'équation z = x 2 + y 2 . L'application
f: (x, y) E IR 2 f-+ x 2 + y 2 est de classe C00 sur IR 2 et a pour dérivées partielles
premières en (x, y) E JR 2
<21> Voir p. 684.
o f
ôx
(x, y) =2x et o f
o y
(x, y) = 2y.
(22)
•
•
Une étude analogue a été menée lors de l'étude des extrema de fonct10ns de plusieurs
(2 3)
variables, en particulier lors de la preuve du théorème 10.10 p. 693.
Voir Je théorème 10.3 p. 650.
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Si f est de classe C 2 , en utilisant la formule de Taylor <21> à l'ordre 2 au voisinage
de (xo, Yo), on obtient :
/:::,. = H(x - xo) 2 a; 2 f(xo, Yo) + 2(x - xo)(y - yo) o ; y f(xo, Yo)
+ (y - yo) 2 0 ; 2 f(xo, Yo)) + O ( x0 ,y0 ) ( 11 (x - Xo,y - yo) /1 2 )
1 t (X - Xo)
(X - Xo)
2
= 2 y _ Yo
·
H1 (xo, Yo) · y _ Yo
+ O ( x0,y0 ) ( 11 (x - Xo, Y - Yo)ll ).
Le signe de /:::,. au voisinage de (xo, y0) est c22> donné par le signe de la quantité
t (X - Xo)
.
(X - Xo)
y _ Yo
· H1 (xo, Yo) · y - yo .
Il dépend des valeurs propres de la matrice hessienne H1 (xo, Yo) E Mz(IR).
Rappelons <23> que sous l'hypothèse où f est de classe C 2 , le théorème de Schwarz
indique que la matrice H f ( xo, Yo) est symétrique et que par conséquent ses deux
valeurs propres sont réelles. Selon le signe de celles-ci, on peut déterminer <22>
localement la position relative de la surface par rapport à son plan tangent
en (xo, Yo, f (xo, yo)). Les différentes situations envisageables au voisinage de ce
point sont précisées dans la proposition suivante.
PROPOSITION 11.1 (Position du plan tangent)
Soit f une application de classe C 2 définie sur un ouvert U de IR 2 à valeurs
dans lR et soient ..\1 et ..\ 2 (avec ..\1 � ..\ 2 ) les deux valeurs propres réelles de
la matrice hessienne de f en (xo, Yo) EU.
La position de la surface cartésienne d 'équation z = f(x, y) par rapport à son
plan tangent en Mo = (xo, yo ,J(xo, Yo)) est donnée, au voisinage de Mo, de
la manière suivante :
1. si 0 < ..\1 � ..\ 2 alors le plan tangent en Mo est en dessous de la surface ;
2. si ..\1 � ..\ 2
< 0 alors le plan tangent en Mo est au-dessus de la surface ;
3. si ..\1 < 0 < ..\ 2 alors le plan tangent en Mo traverse la surface ;
4. si ..\1 = 0 ou ..\ 2 = 0 alors on ne peut pas conclure.
Exemples
1. Considérons le paraboloïde elliptique d'équation z = x 2 + y 2 . L'application
f: (x, y) E IR 2 f-+ x 2 + y 2 est de classe C00 sur IR 2 et a pour dérivées partielles
premières en (x, y) E JR 2
<21> Voir p. 684.
o f
ôx
(x, y) =2x et o f
o y
(x, y) = 2y.
(22)
•
•
Une étude analogue a été menée lors de l'étude des extrema de fonct10ns de plusieurs
(2 3)
variables, en particulier lors de la preuve du théorème 10.10 p. 693.
Voir Je théorème 10.3 p. 650.