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Surfaces cartésiennes dans l'espace
L'équation du plan tangent en (0, 0, 1) à la surface cartésienne 81 qui est le
graphe de f i est donc z = 1 + x + y. Par ailleurs, on a
âf2
1
âx
(x, y) = (1 + x)2 (1 + y)
et
âh
1
â y
(x, y) = {1 + y)2 (1 + x)
donc âxf2 (0, 0) = ây /2(0, 0) = 1 et l'équation du plan tangent en (0, 0, 1) à
la surface cartésienne 8 2 qui est le graphe de h est z = 1 + x + y. Les deux
surfaces cartésiennes 81 et 8 2 ont le même plan tangent en (0, 0, 1). On dit que
les deux surfaces sont des surfa ces tangentes.
On peut visualiser les deux surfaces cartésiennes 81 et 8 2 ainsi que leur plan
tangent en (0, 0, 1) en ayant recours à MAPLE.
> f1 := (x ,y) -> exp (x+y) :
> f2 :=(x,y)-> 2-1/((1 +x) *(1+y)) :
> plot3d({f1 (x ,y) ,f2(x,y) , 1+x+y} ,x=-1 .. 1,y=-1 .. 1 ,view=-10 .. 10) ;
X
11.2.3 Position d'une surface par rapport à son plan tangent
La droite tangente au graphe d'une fonction f de lR dans lR en un point
'
•
(20)
(xo, f(xo)) a pour equat10n y = f(xo) + (x - xo)f'(xo). Rappelons que
la position de la courbe par rapport à sa tangente est obtenue en déterminant
le signe de � = f(x) - (J(xo) + (x - xo)f'(xo)). De la même manière, la position d'une surface cartésienne, qui est le graphe d'une fonction f de IR 2 dans IR,
par rapport à son plan tangent en un point (xo, yo , f(xo, yo)) est obtenue en
étudiant le signe de de la différence
� = f(x, y) - (! (xo, Yo) + (x - xo) Ôx f(xo, Yo) +(y - Yo) ây f (xo, Yo) ) ·
<2 o ) Cette étude a été effectuée dans le Cours de première année p. 755 en ayant recours à la
formule de Taylor-Lagrange.