Courbes et surfaces
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est un vecteur directeur de la tangente à la ligne coordonnée r x a. De la même
façon, on peut vérifier que le vecteur
( 1 )
v0
Ôx f (xo, Yo)
est un vecteur tangent à la ligne coordonnée r Y a d'équation z = f(x, Yo). Les
deux vecteurs u et v étant linéairement indépendants, ils engendrent un plan
dans IR. 3 . Ce plan est appelé plan tangent à la surface S au point (xo, Yo, f(xo , Yo)).
DÉFINITION 11.6 (Plan tangent)
Soient f une application de classe C 1 définie sur un ouvert U de IR. 2 , à valeurs
dans 1R. et (xo, Yo) un élément de U. Le plan tangent à la surface cartésienne S
d 'équation z = f(x, y) au point Mo = (xo, Yo , f(xo, Yo)) est le plan passant
11 ,r
d' . '
l
(18)
par 10 et irige par es vecteurs
( 1 )
u0
Ôx f (xo, Yo)
( 0 )
et V=
1
.
Ôy f(xo , Yo)
Un vecteur normal N au plan tangent en Mo = (xo, Yo, f(xo, Yo)) à la surface cartésienne S d'équation z = f(x, y) est obtenu en effectuant le produit
vectoriel entre les deux vecteurs u et v ; on a
( 1 ) ( O ) ( - Ôx f (xo, Yo) )
N =
0
/\
1
= - ô f (xo Yo) ·
Ôx f (xo, Yo)
Ôy f (xo, Yo)
Y 1
'
0
d ' d . ( !9)
l' '
. d l
n en e . mt que equat10n u pan tangent est :
ô f
ô f
z = f(xo, Yo) + (x - xo) a; (xo, Yo) + (y - Yo) a:y (xo , Yo).
(1)
Exemple Les surfaces cartésiennes d'équation z = f i (x, y) et z = h (x, y) où
f i : (x, y) E IR. 2 1---4 e x + y
et
2
1
f2 :( x , y) EIR 1---4 2 - (l + x)(l +y)
passent toutes les deux par le point (0, 0, 1) car f i (O, O) = h (O, O) = 1. Déterminons leur plan tangent au point (0, 0, 1). On a
âf i
âfi
+
- (x, y) = -(x, y) =e x Y
âx
ây
donc
â fi (0 0) = â f i (0 0) = 1
âx
'
â y '
·
(lS) On remarquera que pour que le plan tangent à la surface cartésienne S au point lvlo soit
défini, il suffit que f soit différentiable en (xo , yo) .
< 19> Voir p. 726 l'équation d'un plan dans l'espace.