52
Groupement de termes et changement de l'ordre des termes
> sum(v (n) , n=nO . . +inf inity) : evalf (%) ;
-.6931471821 - .288055614110- 9 I
On notera que l'expression formelle de la somme de la série après regroupement
de terme obtenue par MAPLE est inexploitable. La valeur numérique de cette
somme évaluée par MAPLE diffère légèrement de la valeur de la somme de la
série L n Un compte tenu d'erreurs d'arrondis dans l'évaluation numérique de
l'expression formelle.
L'instruction suivante :
> seq( [seq(k, k=phi (n- 1) .. phi (n) -1)],n=n0 .. 5) ;
permet par ailleurs de visualiser les groupements de termes qui sont effectués.
[ 1 , 2 , 3], [4 , 5 , 6], [7 , 8, 9], [ 10 , 11, 12], [ 13 , 14 , 15]
PROPOSITION 1.17 (Changement de l'ordre des termes)
Soient L n Un une série absolument convergente et a une bijection de N
dans N (on parle aussi de permutation de N). La série L n Ua ( n ) est une
série absolument convergente qui a m€me somme que la série L n Un·
Démonstration Montrons que les séries L n Ua ( n ) et L n Un sont de même
d
,
'
A
(54)
nature ; nous a mettrons que ces senes ont meme somme .
Soient (Sn)n la suite des sommes partielles associée à la série L n lun l et (Tn)n
celle associée à la série L n lua ( n ) I · Les suites (Sn )n et (Tn)n sont des suites
croissantes et à termes positifs. Pour tout n EN, on a
n
mn
Tn = I: lua (k) I � I: luk l = S mn ,
k=O
k=O
où mn = sup kE {O ,
...
,n } a(k). Puisque la série L n Un est absolument convergente,
la série L n lun l est convergente et par conséquent la suite (Sn)n converge vers
un réel positif S. Cette suite (Sn)n étant croissante, elle est majorée par S. On
en déduit que pour tout n EN on a Tn � S. La suite (Tn)n est donc une suite
croissante et majorée ; il s'agit par conséquent d'une suite convergente ' 55 '. On
en conclut que la série L n lua(n) 1 est une série convergente et par conséquent
que la série L n Ua ( n ) est une série absolument convergente.
D
Le programme MAPLE suivant permet d'explorer l'effet d'un ré-arrangement
des termes d'une série alternée (L n Un avec Un = (-lran où (an)n est une
suite de réels positifs) sur la somme de cette série. On réarrange les termes de
la manière suivante : un terme négatif de la série est suivi des T termes positifs
suivants.
(s4) Pour une preuve de cette propriété, on pourra consulter J. LELONG-FERRAND, J.M.
ARNAUDIÈS, Cours de Mathématiques, tome 2, p. 281.
< 55 > Voir la proposition 5.16 p. 183 du Cours de première année.
Groupement de termes et changement de l'ordre des termes
> sum(v (n) , n=nO . . +inf inity) : evalf (%) ;
-.6931471821 - .288055614110- 9 I
On notera que l'expression formelle de la somme de la série après regroupement
de terme obtenue par MAPLE est inexploitable. La valeur numérique de cette
somme évaluée par MAPLE diffère légèrement de la valeur de la somme de la
série L n Un compte tenu d'erreurs d'arrondis dans l'évaluation numérique de
l'expression formelle.
L'instruction suivante :
> seq( [seq(k, k=phi (n- 1) .. phi (n) -1)],n=n0 .. 5) ;
permet par ailleurs de visualiser les groupements de termes qui sont effectués.
[ 1 , 2 , 3], [4 , 5 , 6], [7 , 8, 9], [ 10 , 11, 12], [ 13 , 14 , 15]
PROPOSITION 1.17 (Changement de l'ordre des termes)
Soient L n Un une série absolument convergente et a une bijection de N
dans N (on parle aussi de permutation de N). La série L n Ua ( n ) est une
série absolument convergente qui a m€me somme que la série L n Un·
Démonstration Montrons que les séries L n Ua ( n ) et L n Un sont de même
d
,
'
A
(54)
nature ; nous a mettrons que ces senes ont meme somme .
Soient (Sn)n la suite des sommes partielles associée à la série L n lun l et (Tn)n
celle associée à la série L n lua ( n ) I · Les suites (Sn )n et (Tn)n sont des suites
croissantes et à termes positifs. Pour tout n EN, on a
n
mn
Tn = I: lua (k) I � I: luk l = S mn ,
k=O
k=O
où mn = sup kE {O ,
...
,n } a(k). Puisque la série L n Un est absolument convergente,
la série L n lun l est convergente et par conséquent la suite (Sn)n converge vers
un réel positif S. Cette suite (Sn)n étant croissante, elle est majorée par S. On
en déduit que pour tout n EN on a Tn � S. La suite (Tn)n est donc une suite
croissante et majorée ; il s'agit par conséquent d'une suite convergente ' 55 '. On
en conclut que la série L n lua(n) 1 est une série convergente et par conséquent
que la série L n Ua ( n ) est une série absolument convergente.
D
Le programme MAPLE suivant permet d'explorer l'effet d'un ré-arrangement
des termes d'une série alternée (L n Un avec Un = (-lran où (an)n est une
suite de réels positifs) sur la somme de cette série. On réarrange les termes de
la manière suivante : un terme négatif de la série est suivi des T termes positifs
suivants.
(s4) Pour une preuve de cette propriété, on pourra consulter J. LELONG-FERRAND, J.M.
ARNAUDIÈS, Cours de Mathématiques, tome 2, p. 281.
< 55 > Voir la proposition 5.16 p. 183 du Cours de première année.