Séries numériques
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la suite (Vn)n est donc une suite extraite de la suite (Un)n · La série L n Un
converge et admet pour somme µ si et seulement si la suite (Un)n converge
vers µ. Dans ce cas, la suite (Vn)n extraite de la suite (Un)n converge < 5 2l aussi
vers µ. La série L n Vn est donc une série convergente de somme µ.
!::: Supposons que la série L n Un est à termes positifs et que la série L n Vn
converge et admet pour somme µ. Comme Un � 0 pour tout n E .N, les suites
(Un)n et (Vn)n sont croissantes. On a donc Vn � µ pour tout n E .N et par
ailleurs, puisque r.p est une application de .N dans .N strictement croissante :
r.p( n) � n. Cela implique que :
Vn E .N
La suite (Un)n est par conséquent une suite croissante et majorée ; il s'agit donc
d'une suite convergente c 5 3 l . Comme la suite (Vn)n qui est extraite de la suite
(Un)n converge vers µ, la suite (Un)n admet pour limite µ.
D
Exemple En considérant l'application : n E .N 1-+ 2n + 1, la série L n Vn
définie à la proposition 1.16 correspond à des groupements de 2 termes de la
série L n Un : pour tout n E .N, Vn = U 2 n + U 2 n + i · Plus généralement, pour
T/ E .N* fixé, l'application : n E .N 1-+ rtn + (rt - 1) permet d'effectuer des
groupements de T/ termes.
1 En regroupant convenablement les termes de certaines séries divergentes,
on peut obtenir une série numérique L n Vn qui est convergente.
Plus précisément, la démonstration de la proposition 1 .16 indique que si L n Un
est une série convergente alors quel que soit le regroupement de termes qui est
opéré, la série obtenue est convergente (et de même somme que L n un) · Par
contre, une série obtenue par regroupement de termes peut converger alors que
la série initiale divergeait ; cela ne peut avoir lieu que pour des séries qui ne sont
pas à termes positifs (ou plus généralement, qui ne sont pas de signe constant
à partir d'un certain rang).
Le programme MAPLE suivant permet d'explorer le regroupement de termes. La
variable T représente le nombre de terme regroupés, u définit la série considérée
et v désigne la série issue de u par le regroupement de termes.
> T:=3: phi := n-> T*n+1 ;
> u:= n-> (-1)-n/n : n0 :=1:
> v:= n-> simpl ify (sum(u(k) , k=phi (n- 1) .. phi (n) -1) , assume=integer):
> sum (u(n) , n=nO .. +inf inity) ; evalf (%) ;
- ln(2)
-.6931471806
< 5 2l Voir la proposition 5.18 p. 187 du Cours de première année.
< 5 3 l Voir la proposition 5.16 p. 183 du Cours de première année .
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la suite (Vn)n est donc une suite extraite de la suite (Un)n · La série L n Un
converge et admet pour somme µ si et seulement si la suite (Un)n converge
vers µ. Dans ce cas, la suite (Vn)n extraite de la suite (Un)n converge < 5 2l aussi
vers µ. La série L n Vn est donc une série convergente de somme µ.
!::: Supposons que la série L n Un est à termes positifs et que la série L n Vn
converge et admet pour somme µ. Comme Un � 0 pour tout n E .N, les suites
(Un)n et (Vn)n sont croissantes. On a donc Vn � µ pour tout n E .N et par
ailleurs, puisque r.p est une application de .N dans .N strictement croissante :
r.p( n) � n. Cela implique que :
Vn E .N
La suite (Un)n est par conséquent une suite croissante et majorée ; il s'agit donc
d'une suite convergente c 5 3 l . Comme la suite (Vn)n qui est extraite de la suite
(Un)n converge vers µ, la suite (Un)n admet pour limite µ.
D
Exemple En considérant l'application : n E .N 1-+ 2n + 1, la série L n Vn
définie à la proposition 1.16 correspond à des groupements de 2 termes de la
série L n Un : pour tout n E .N, Vn = U 2 n + U 2 n + i · Plus généralement, pour
T/ E .N* fixé, l'application : n E .N 1-+ rtn + (rt - 1) permet d'effectuer des
groupements de T/ termes.
1 En regroupant convenablement les termes de certaines séries divergentes,
on peut obtenir une série numérique L n Vn qui est convergente.
Plus précisément, la démonstration de la proposition 1 .16 indique que si L n Un
est une série convergente alors quel que soit le regroupement de termes qui est
opéré, la série obtenue est convergente (et de même somme que L n un) · Par
contre, une série obtenue par regroupement de termes peut converger alors que
la série initiale divergeait ; cela ne peut avoir lieu que pour des séries qui ne sont
pas à termes positifs (ou plus généralement, qui ne sont pas de signe constant
à partir d'un certain rang).
Le programme MAPLE suivant permet d'explorer le regroupement de termes. La
variable T représente le nombre de terme regroupés, u définit la série considérée
et v désigne la série issue de u par le regroupement de termes.
> T:=3: phi := n-> T*n+1 ;
> u:= n-> (-1)-n/n : n0 :=1:
> v:= n-> simpl ify (sum(u(k) , k=phi (n- 1) .. phi (n) -1) , assume=integer):
> sum (u(n) , n=nO .. +inf inity) ; evalf (%) ;
- ln(2)
-.6931471806
< 5 2l Voir la proposition 5.18 p. 187 du Cours de première année.
< 5 3 l Voir la proposition 5.16 p. 183 du Cours de première année .